2014-06-01
Согласно одной из первых моделей (модель Томсона), атом водорода представляет собой равномерно заряженный положительным электричеством шар, в центре которого находится электрон. В целом атом нейтрален. Найти радиус такого атома, если известно, что минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону для его удаления из атома на большое расстояние, равна $W_{i}$. Заряд электрона $e$. Указание. Принять во внимание, что равномерно заряженный шаровой слой в своей внутренней полости электрического поля не создает.
Решение:
Величина $W$ равна работе, которую необходимо затратить для того, чтобы удалить из атома электрон. Легко найти работу, которую необходимо затратить для того, чтобы удалить электрон с поверхности атома «на бесконечность» (бесконечно далеко от него). Эта работа раина потенциальной энергии электрона у поверхности положительно заряженного шара. Так как потенциал электрического поля на поверхности шара равен
$\phi = \frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0}R}$
(где $e$ - заряд шара и $R$ - его радиус), то работа
$A_{1}=\phi e = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}R}$.
Чтобы найти работу, которую необходимо затратить для перемещения электрона из центра атома на его поверхность, мысленно разобьем шар на тонкие шаровые слои толщиной $\Delta R$. На протяжении каждого из таких слоев можно силу, действующую на заряд, считать постоянной. Напряженность поля, создаваемого зарядами каждого из слоев в полости, ограниченном этим слоем, как известно, равна нулю, а вне слоя напряженность такая же, какой она была бы, если бы весь заряд слоя был сосредоточен в центре шара. Это означает, что напряженность электрического поля внутри атома на расстоянии $r$ от его центра определяется формулой
$E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$,
а сила, действующая в этом поле на электрон, - формулой
$F=eE=\frac{qe}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$,
где $q$ - заряд, который находится внутри сферы радиуса $r$.
Так как заряд $e$ распределен в объеме шара равномерно, то в единице объема сосредоточен заряд
$\rho = \frac{e}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$
Значит, внутри шара с радиусом $r$ будет находиться заряд
$q= \frac{3}{4} \frac{e}{4 \pi R^{3}} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}= e \left ( \frac{r}{R} \right )^{3}$
Поэтому
$F= \frac{e^{2}r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}$
Для того чтобы вычислить работу, которая совершается при перемещении электрона в атоме, умножим среднее значение силы на перемещение $R$ электрона. Так как сила, действующая на электрон, пропорциональна расстоянию электрона от центра атома, то среднее значение силы равно половине модуля силы, действующей на электрон
на поверхности атома:
$F_{ср} = \frac{1}{2} \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}} R = \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}$.
Поэтому
$A_{2}=F_{ср}R= \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{2}} = \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R}$
Следовательно,
$W_{i}=A_{1}+A_{2} = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R} = \frac{3e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R}$
Отсюда
$R= \frac{3e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} W_{i}}$
Подставив численные значения величин (энергия ионизации атома водорода $W_{i} = 13,6 эВ$, или $21,7 \cdot 10^{-19}Дж$; заряд же ядра атома водорода $e = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$), получаем для радиуса атома водорода в модели Томсона значение $R \approx 1,6 \cdot 10^{-10} м$.