2014-05-31
Матовая пластинка отражает свет во все стороны равномерно. Объясните, почему пластинка кажется более яркой, если ее рассматривать под малым углом к ее поверхности.
Решение:
Очевидно, что пластина кажется тем более яркой, чем больше освещенность $E$ изображения картинки, создаваемого на сетчатке. Для $E$ запишем выражение
$E= \Phi /S$, (1)
где $\Phi$ - световой поток, проходящий через зрачок, и $S$ - площадь изображения пластинки на сетчатке. Обозначим через $I$ силу света, отражаемого пластинкой в направлении, составляющем угол $\alpha$ с плоскостью пластинки. В зрачок попадает световой поток
$\Phi = I \Omega$. (2)
Здесь $\Omega$ - телесный угол, под которым из малой площадки $dS$ виден зрачок. Очевидно, что
$\Omega = S_{1}/r^{2}$, (3)
где $S_{1}$ - площадь зрачка и $r$ - расстояние от площадки до зрачка. Так как но условию задачи величина $I$, как и угол $\Omega$, не зависят от угла $\alpha$, то и световой поток $\Phi$, попадающий в зрачок, не зависит от $\alpha$.
Площадь $S$ изображения на сетчатке прямо пропорциональна видимой площади пластинки $S^{\prime}=S_{0} \sin \alpha$:
$S= \Gamma^{2}S^{\prime}= \Gamma^{2}S_{0} \sin \alpha$, (4)
$S^{\prime}$ - площадь проекции площадки $S_{0}$ на плоскость, нормальную к
направлению, с которого рассматривается пластинка; $\Gamma$ - линейное sувеличение хрусталика ($\Gamma < 1$).
Подставляя в формулу (1) $\Phi$ (2) и $S$ (4) и принимая во внимание формулу (3), для освещенности находим
$E= \frac{S_{1}}{\Gamma^{2} r^{2} \sin \alpha} \frac{I}{S_{0}}$. (5)
Формула (5) показывает, что освещенность изображения тем больше, чем меньше угол $\alpha$. Именно поэтому пластинка и кажется нам более яркой при рассматривании ее с направления, составляющего малый угол $\alpha$ с ее поверхностью.
Отметим, что подобным образом ведет себя не любая пластинка. Чаще всего величина $I$ является функцией угла $\alpha$ и при каком-то избранном значении $\alpha_{0}$ достигает своего максимального значения, а при стремлении $\alpha$ к нулю убывает быстрее, чем $\sin \alpha$. В этом случае пластинка кажется наиболее яркой именно с этого направления. Говорят, что она "блестит" в направлении $\alpha_{0}$.
Существуют поверхности, для которых
$I=I_{0} \sin \alpha$, (6)
где $I_{0}$ - некоторая константа. Такие поверхности называют абсолютно матовыми. В случае пластинки с абсолютно матовой поверхностью освещенность ее изображения на сетчатке дается формулой
$E=\frac{IS_{1}}{S_{0} \Gamma^{2} r^{2} \sin \alpha}= \frac{I_{0}S_{1}}{S_{0}(\Gamma r)^{2}}$. (7)
Очевидно, что в этом случае $E$ не зависит от $\alpha$. Рассматривая абсолютно матовую пластинку, мы видим ее одинаково яркой с любого направления.