2017-03-27
На непроводящий гладкий стержень, изогнутый под прямым углом, насажаны две бусинки равных масс $M$, несущие заряды противоположных знаков $Q_{1}$ и $Q_{2}$. В начальный момент бусинки неподвижны и находятся на расстоянии $d$ и $2d$ от угла. Отпустим их. Где окажется вторая бусинка в тот момент, когда "ближняя" бусинка доедет до вершины угла?
Решение:
Пусть в некоторый момент одна бусинка находится на расстоянии $x_{1}$ от угла, вторая - на расстоянии $x_{2}$. Так как $| \vec{F}_{1}| = | \vec{F}_{2}|$, то из второго закона Ньютона следует:
$\begin{cases} m_{1}a_{1} = F_{1} \cos \alpha_{1} = F_{1} \frac{x_{1}}{ \sqrt{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} \\ m_{2}a_{2} = F_{2} \cos \alpha_{2} = F_{2} \frac{x_{2}}{ \sqrt{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} \end{cases} \Rightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$,
то есть отношение ускорений равно отношению расстояний до вершины угла. За некоторый промежуток времени (малый) бусинки сместятся на $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ такие, что
$\frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{2}$, (1)
и в новом положении соотношение
$\frac{a_{1}^{ \prime}}{a_{2}^{ \prime}} = \frac{x_{1} - \Delta x_{1}}{x_{2} - \Delta x_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$ (2)
сохраняется.
Следовательно (вспомните гармонические колебания!), обе бусинки доберутся до угла одновременно.