2017-03-27
На наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, кладут маленькую заряженную шайбу $D$, коэффициент трения которой о плоскость $\mu (\mu < tg \alpha)$. В основании наклонной плоскости закреплен такой же точечный заряд $Q$. Шайба находится в равновесии. Каким при этом может быть максимальный угол $\beta = AQD$, где прямая $AQ$ параллельна составляющей вектора $\vec{g}$ вдоль наклонной плоскости?
Решение:
Заметим, что искомый угол $\beta$ - это угол между прямыми, которым принадлежат вектор $\vec{F}_{k}$ (силы Кулона) и проекция $m \vec{g}$ на наклонную плоскость.
Допустим, шайба находится в состоянии равновесия. Сумма сил, действующих на нее при этом, должна быть равна нулю. Для построения треугольника поступим следующим образом. Отложим постоянную компоненту $mg \sin \alpha$ первой, так как она не меняется при любых положениях шайбы. Теперь от конца вектора $mg \sin \alpha$ мы должны отложить вектор силы трения. Подчеркнем, что значение $| \vec{F}_{тр}| = \mu mg \cos \alpha$, а направление его может быть любым, то есть множество концов всевозможных векторов $\vec{F}_{тр}$ образуют окружность. Вектор $\vec{F}_{k}$ должен замкнуть треугольник сил (иначе силы не уравновесят друг друга). Мысленно вращая $\vec{F}_{тр}$, видим, что максимальный угол реализуется в случае касания $\vec{F}_{k}$ окружности сил трения (в точке С), то есть
$\sin \beta = \frac{ \mu mg \cos \alpha}{ mg \sin \alpha} = \mu ctg \alpha$,
следовательно,
$\beta \leq arcsin ( \mu ctg \alpha)$.
Пользуясь изложенным подходом, можете попробовать определить вид области "покоя" шайбы на наклонной плоскости. (На границе области $\vec{F}_{k}$ будет направлен вдоль проекции силы тяжести на наклонную плоскость).