2014-05-31
Тело массой $m = 5 г$ подвешено с помощью тонких невесомых нитей длиной $L = 1 м$ каждая к двум наполненным гелием шарикам, которые несут на себе одинаковые электрические заряды. Система, зависнув в воздухе, находится в равновесии. Расстояние $l$ между центрами шариков равно 40 см и много больше их радиусов. Найдите заряды на шариках.
Решение:
На тело действует сила тяжести $m \bar{g}$ и силы натяжения нитей $\bar{T_{1}}$ и $\bar{T_{1}}$, которые, в силу симметрии системы относительно вертикали, проходящей через точку А подвеса груза, равны по величине ($|\bar{T_{1}}| = |\bar{T_{2}}| \equiv T$) и составляют с вертикалью одинаковые углы $\alpha$ (рис.). Так как груз находится в равновесии, то
$\bar{T_{1}}+\bar{T_{1}} + m \bar{g} = 0$.
Проецируя это векторное равенство на вертикальное направление получаем
$2T \cos \alpha - mg = 0$. (1)
На шарики действуют архимедова сила $\bar{F_{A}}$, сила тяжести $\bar{P}$, сила натяжения нитей $\bar{T_{3}}$ и $\bar{T_{4}}$ и, наконец, электрические силы отталкивания $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$ - такие, что $\bar{F_{1}} = - \bar{F_{2}}$, т. е. $|\bar{F_{1}}|=|\bar{F_{2}}| \equiv F$. Так как нити невесомы, то $\bar{T_{3}}= - \bar{T_{1}}$ и $\bar{T_{4}}= - \bar{T_{2}}$. В силу симметрии системы $|\bar{T_{3}}|=|\bar{T_{4}}| \equiv T$. Поскольку шарики находятся в равновесии, а суммы всех приложенных к ним сил равны нулю. Так, для первого шарика
$\bar{F_{A}} + \bar{P}+\bar{T_{3}} + \bar{F_{1}} = 0$.
Проецируя это векторное равенство на горизонтальное направление получаем
$F – T \sin \alpha$. (2)
Из рассмотрения треугольника ОАВ следует, что
$\sin \alpha = \frac{l}{2L}$. (3)
Исключая из системы трех уравнений (1), (2) и (3) неизвестные $T$ и $\alpha$ и решая затем получающееся уравнение относительно $F$, находим
$F= \frac{mgl}{2 \sqrt{4L^{2}-l^{2}}}$, (4)
$F$ - это величина силы электрического взаимодействия шариков. Обозначим величину зарядов шариков через $q$. Из закона Кулона следует, что
$F = q^{2}/l^{2}$. (5)
Приравнивая правые части (4) и (5) и решая получающееся уравнение относительно $q$. получаем
$q=l \sqrt{\frac{mgl}{2 \sqrt{4L^{2}-l^{2}}}} \approx 900 ед. СГСЭ \approx 3 \cdot 10^{-7} Кл.$