2014-05-31
Незаряженная металлическая сфера помещена в однородное электростатическое поле, напряженность $\bar{E}$ которого направлена вдоль "оси" сферы. Известно, что при этом на "полюсах" сферы плотность $\sigma$ электрического заряда оказывается равной $\sigma_{0} = \pm a R$ причем величина $a$ не зависит от напряженности поля $E$. Найдите плотность зарядов $\sigma$ и на произвольной "широте" $\phi$, т. е. функцию $\sigma (\phi)$
Решение:
Так как ось сферы является осью симметрии поля, то ясно, что во всех точках сферы, расположенных на одной широте $\phi$, плотность зарядов $\sigma$ будет одинакова, т. е. $\sigma$ есть функция только от $\phi$: $\sigma = \sigma(\phi)$. На "полюсах" S и N сферы, которым отвечают широты $\pm \frac{\pi}{2}$, согласно условию задачи,
$\sigma(\pm \pi/2) = \pm aE$.
Нетрудно сообразить, что в силу симметрии задачи относительно экваториальной плоскости плотность зарядов на "экваторе" ($ \phi = 0$) равна нулю: $\sigma(0) = 0$.
Плотность зарядов в точке А сферы, расположенной на произвольной широте $\phi$, найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Однородное поле $\bar{E}$, в которое помещена сфера, можно представить как сумму двух взаимно перпендикулярных однородных полей с напряженностями $\bar{E_{1}}$ и $\bar{E_{2}}$, таких, что вектор $\bar{E_{1}}$ направлен по нормали, а вектор $\bar{E_{2}}$ - по касательной к поверхности сферы в точке A, т. е. $\bar{E}=\bar{E_{1}} + \bar{E_{2}}$. Величины этих векторов равны $E_{1} = E \sin \phi, E_{2}=E \cos \phi$. Поверхностная плотность заряда $\sigma (\phi)$, индуцированное полем $\bar{E}$ в точке $A(\phi)$, есть сумма плотностей $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ зарядов, индуцированных полями $\bar{E_{1}}$ и $\bar{E_{2}}$ по отдельности:
$\sigma(\phi) = \sigma_{1} + \sigma_{2}$. (1)
По отношению к полю $\bar{E_{1}}$ точка А лежит на оси и является "полюсом", поэтому
$\sigma_{1}=a |\bar{E_{1}}|=aE \sin \alpha$. (2)
По отношению к полю $\bar{E_{2}}$ точка А лежит на "экваторе", т. е.
$\sigma_{2} = 0$. (3)
Принимая во внимание (2) и (3), из (1) получаем $\sigma(\phi) = a E \sin \phi$.