2014-05-31
Маленькая бусинка массой $m$ может свободно скользить по оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Радиус кольца $R$. Кольцо заряжено с постоянной линейной плотностью $\lambda$. Бусинка несет на себе заряд $q$. Определите период малых колебаний бусинки около центра кольца.
Решение:
Кольцо можно разбить на малые участки длиной $\Delta l $. Каждый такой участок несет на себе заряд $\Delta Q = \lambda \Delta l$, и их можно рассматривать как точечный по отношению к бусинке.
Найдем силу $\bar{f}$, с которой заряд $\Delta Q$ действует на бусинку. Пусть бусинка расположена на оси в произвольной точке с координатой х, рассчитываемой от центра кольца. Она находится на расстоянии $r= \sqrt{R^{2}+x^{2}}$ от любого заряда $\Delta Q$, и по закону Кулона для величины силы $\bar{f}$ можно написать
$f= |\bar{f}|=\frac{q \Delta Q}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{q \lambda \Delta l}{4 \pi \varepsilon_{0}(R^{2}+x^{2})}$
Силу $\bar{f}$ можно разложить на две составляющие: $f_{x}$ вдоль оси $x$ и
нормальную к ней составляющую $f_{n}$. Действие второй составляющей всегда будет уравновешено действием со стороны другого заряда $\delta Q$, расположенного на другом конце диаметра кольца. Поэтому надо учесть только действие составляющей
$f_{x}=f \cos \alpha = f \frac{x}{r}=\frac{q \lambda x \Delta l}{4 \pi \varepsilon_{0}(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}$
($\alpha$ - угол между направлениями оси х и силы $\bar{f}$). Суммируя по всем участкам кольца $\Delta l$, получаем величину результирующей силы, действующей на заряд $q$:
$F=\frac{q \lambda x R}{2 \varepsilon_{0}(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}$. (1)
Если $q \lambda > 0$, то сила $\bar{F}$ направлена от центра кольца и колебания возникнуть не могут; если же $q \lambda < 0$, то сила, действующая на бусинку, всегда направлена к центру кольца. При малых $x (x \ll H)$ в знаменателе (1) в сумме $x^{2}+R^{2}$ слагаемым $x^{2}$ можно пренебречь и написать
$F=-kx$, (2)
где
$k= - \frac{q \lambda}{2 \varepsilon_{0}R^{2}} = \frac{|q \lambda|}{2 \varepsilon_{0}R^{2}}$. (3)
Как известно, сила вида (2), приложенная к телу массой $m$, заставляет его совершать малые гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{m/k}$. (4)
Подставляя в (4) выражение для $k$ (3), находим
$T=2 \pi R \sqrt{\frac{2 \varepsilon_{0} m}{|q \lambda|}}$