2014-05-31
Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от центра незаряженного металлического шара радиусом $r (l > r)$. Определи потенциал на поверхности шара, считая, что на бесконечности потенциал равен нулю.
Решение:
При равновесии зарядов электростатическое поле в толще металла отсутствует и поэтому все точки шара находятся при одинаковом потенциале. Таким образом, потенциал на поверхности шара не отличается от потенциала в его центре, и задача сводится к нахождению потенциала в центре шара.
Потенциал $\phi$ в центре шара, согласно принципу суперпозиции, складывается из потенциала
$\phi_{1} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}l}$
создаваемого точечным зарядом $q$, и потенциалов $\Delta \phi_{i}$, создаваемых зарядами $\Delta q_{i}$, расположенными на настолько малых участках поверхности шара, что их линейными размерами в сравнении с радиусом шара $r$ можно пренебречь. Каждый такой заряд $\Delta q_{i}$, создает в центре шара потенциал
$\Delta \phi_{i}=\frac{\Delta q_{i}}{4 \pi \varepsilon_{0}r}$
Поэтому для искомого потенциала $\phi$ можно написать:
$\phi = \phi_{1}+ \sum \Delta \phi_{i} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}l} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}r} \sum \Delta q_{i}$
Так как шар не заряжен и $\Delta q_{i}$ - индуцированные заряды, то $\Delta q_{i} = 0$. Таким образом, потенциал в центре шара, а следовательно, и на его поверхности определяется равенством
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}l}$