2014-05-31
Две тепловые машины работают по циклам $ABCDA$ и $ABC^{\prime}D^{\prime}A$ (рис.). Рабочее тело - идеальный газ. У какой машины больше КПД?
Решение:
Как известно, КПД тепловой машины равен отношению работы, совершенной рабочим телом, к количеству теплоты $Q_{н}$, полученному от нагревателя: $\eta = A/Q_{н}$.
За один период в цикле $ABC^{\prime}D^{\prime}A$ совершается в два раза большая работа, чем в цикле $ABCDA$:
$A_{ ABC^{\prime}D^{\prime}A }=2A_{ ABCDA }$, (1)
так как $S_{ ABC^{\prime}D^{\prime}A }=2S_{ ABCDA }$.
Сравним количество теплоты, получаемое газом в этих циклах
Газ получает тепло: на участке $AB$, на участке $BC$ - в цикле $ ABCDA $, на участке $BC^{\prime}$ - в цикле $ABC^{\prime}D^{\prime}A$.
На остальных участках каждого цикла газ отдает тепло холодильнику.
Покажем, что
$Q_{BC^{\prime}}=2Q_{BC}$. (2)
Тепло, подведенное к газу, расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии:
$Q_{BC}=A_{BC} + \Delta U_{BC}, Q_{BC^{\prime}}=A_{BC^{\prime}}+ \Delta U_{BC^{\prime}}$.
Изменение внутренней энергии идеального газа пропорционально изменению температуры:
$\delta U_{BC} \sim (T_{C}-T_{B}), \delta U_{BC^{\prime}} \sim (T_{C^{\prime}} – T_{B})$.
Из уравнения состояния идеального газа и рис. получаем: $T_{C^{\prime}} – T_{B} = 2 (T_{C} – T_{B})$. Следовательно, $\Delta U_{BC^{\prime}} = 2 \Delta U_{B}C$. (3)
Равенства (1) и (3) доказывают справедливость соотношения (2).
Итак, количество теплоты, получаемое газом в процессе $ABC^{\prime}D^{\prime}A$, равно
$Q_{ ABC^{\prime}D^{\prime}A} = Q_{AB} + 2 Q_{BC}$, (4)
и в процессе $ABCDA$ -
$Q_{ ABCDA} = Q_{AB} + Q_{BC}$, (5)
Из определения КПД с учетом равенств (1), (4) и (5) получаем
$\eta_{ ABC^{\prime}D^{\prime}A} = \frac{A_{ABC^{\prime}D^{\prime}A}}{Q_{AB}+Q_{BC^{\prime}}} = \frac{2A_{ ABCDA }}{ Q_{AB}+2Q_{BC}}$, (6)
$\eta_{ ABCDA } = \frac{A_{ ABCDA }}{Q_{AB}+Q_{BC}}$. (7)
Сравнивая правые части равенств (6) и (7), видим, что $\eta_{ABC^{\prime}D^{\prime}A} > \eta_{ABCDA}