Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16558
2025-04-15 
В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $\upsilon_{0}$ (рис.3). Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечением $S$? В начальный момент времени сосуд пуст.
Решение:
Пусть $r$ - радиус окружности на уровне воды, $h$ - высота воды в конусе, $\alpha$ - угол между осью конуса и его образующей, $\upsilon$ - скорость поступления воды в сосуд.
По условию задачи, уровень воды поднимается с постоянной скоростью $\upsilon_{0}$, а в начальный момент времени воды в сосуде не было. Поэтому $h = \upsilon_{0} t$ (1). Объем конуса $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ (2), где $r$ и $h$ являются функциями времени. Зная, что $V = h \operatorname{tg} \alpha$ и подставив (1) в (2), найдем зависимость объема воды в конусе от времени:
$V = \frac{1}{3} \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{3}$.
Для определения зависимости $\upsilon(t)$ мысленно разобьем процесс заполнения конуса водой на очень малые промежутки времени $\Delta t$ (по сравнению с временем заполнения сосуда). За время $\Delta t$ скорость поступления жидкости $\upsilon$ мало меняется и ее можно считать постоянной.
Пусть $V_{1}$ - объем жидкости в момент времени $t_{1}$, а $V_{2}$ в момент времени $t_{2} = t_{1} + \Delta t$. Поступивший за время $\Delta t$ объем воды
$\Delta V = V_{2} - V_{1} = \frac{1}{3} \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \upsilon_{0}^{3} (3t^{2}\Delta t + 3t(\Delta t)^{2} + (\Delta t)^{3}) \approx \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{2} \Delta t$.
Тот же объем воды можно записать в виде
$\Delta V = \upsilon S \Delta t$.
В результате получаем: $\upsilon(t) = \frac{\pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{2}}{S}$.
В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $\upsilon_{0}$ (рис.3). Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечением $S$? В начальный момент времени сосуд пуст.
Решение:
Пусть $r$ - радиус окружности на уровне воды, $h$ - высота воды в конусе, $\alpha$ - угол между осью конуса и его образующей, $\upsilon$ - скорость поступления воды в сосуд.
По условию задачи, уровень воды поднимается с постоянной скоростью $\upsilon_{0}$, а в начальный момент времени воды в сосуде не было. Поэтому $h = \upsilon_{0} t$ (1). Объем конуса $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ (2), где $r$ и $h$ являются функциями времени. Зная, что $V = h \operatorname{tg} \alpha$ и подставив (1) в (2), найдем зависимость объема воды в конусе от времени:
$V = \frac{1}{3} \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{3}$.
Для определения зависимости $\upsilon(t)$ мысленно разобьем процесс заполнения конуса водой на очень малые промежутки времени $\Delta t$ (по сравнению с временем заполнения сосуда). За время $\Delta t$ скорость поступления жидкости $\upsilon$ мало меняется и ее можно считать постоянной.
Пусть $V_{1}$ - объем жидкости в момент времени $t_{1}$, а $V_{2}$ в момент времени $t_{2} = t_{1} + \Delta t$. Поступивший за время $\Delta t$ объем воды
$\Delta V = V_{2} - V_{1} = \frac{1}{3} \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \upsilon_{0}^{3} (3t^{2}\Delta t + 3t(\Delta t)^{2} + (\Delta t)^{3}) \approx \pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{2} \Delta t$.
Тот же объем воды можно записать в виде
$\Delta V = \upsilon S \Delta t$.
В результате получаем: $\upsilon(t) = \frac{\pi \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \upsilon_{0}^{3} \cdot t^{2}}{S}$.
