Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16556
2025-04-15 
Автомобиль удаляется со скоростью $u$ от длинной стены, двигаясь под углом $\alpha$ к ней (рис.). В момент, когда расстояние до стены равно $l$, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе $\upsilon$.
Решение:
Введем следующие обозначения: $l^{ \prime}$ - расстояние от стены до автомобиля в момент «получения» эха, $l_{1}$, $l_{2}$ - расстояния, пройденные звуком соответственно до и после отражения, $\beta$ - угол падения (отражения) звука.
Пусть $t_{1}$ - время движения автомобиля, а $t_{2}$ - время распространения звука, $t_{1}^{ \prime} = \frac{l}{u}$;
$t_{2} = \frac{l_{1}+l_{2}}{\upsilon}$.
Поскольку $t_{1} = t_{2}$, то и $\frac{L^{ \prime}}{u} = \frac{l_{1}+l_{2}}{\upsilon}$.
Из геометрических соображений (рис.) можно записать:
$l_{1} = \frac{l}{\cos \beta}$; $l_{2} = \frac{l^{ \prime}}{\cos \beta} = (l + L \sin \alpha) / \cos \beta$. (1)
Тогда $L/u = (2l + L \sin \alpha) / \upsilon \cdot \cos \beta$ (2)
Теорема косинусов дает соотношение:
$L^{2} = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} - 2 l_{1} l_{2} \cos 2\beta$.
С учетом (1), а также формулы $\cos 2\beta = 2\cos^{2}\beta - 1$, получаем выражение:
$\frac{1}{\cos^{2}\beta} = \frac{L^{2} + 4l^{2} + 4lL \sin \alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha} = 1 + \frac{L^{2}\cos^{2}\alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha}$.
Подставив его в (2), имеем:
$\frac{L}{u} = \frac{2l + L \sin \alpha}{\upsilon} \sqrt{1 + \frac{L^{2}\cos^{2}\alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha}}$.
После несколько громоздких, но элементарных преобразований найдем, что $L = \frac{2 \cdot u \cdot l}{\upsilon^{2}-u^{2}} (u \cdot \sin \alpha + \sqrt{\upsilon^{2}-u^{2}\cos^{2}\alpha})$.
Автомобиль удаляется со скоростью $u$ от длинной стены, двигаясь под углом $\alpha$ к ней (рис.). В момент, когда расстояние до стены равно $l$, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе $\upsilon$.
Решение:
Введем следующие обозначения: $l^{ \prime}$ - расстояние от стены до автомобиля в момент «получения» эха, $l_{1}$, $l_{2}$ - расстояния, пройденные звуком соответственно до и после отражения, $\beta$ - угол падения (отражения) звука.
Пусть $t_{1}$ - время движения автомобиля, а $t_{2}$ - время распространения звука, $t_{1}^{ \prime} = \frac{l}{u}$;
$t_{2} = \frac{l_{1}+l_{2}}{\upsilon}$.
Поскольку $t_{1} = t_{2}$, то и $\frac{L^{ \prime}}{u} = \frac{l_{1}+l_{2}}{\upsilon}$.
Из геометрических соображений (рис.) можно записать:
$l_{1} = \frac{l}{\cos \beta}$; $l_{2} = \frac{l^{ \prime}}{\cos \beta} = (l + L \sin \alpha) / \cos \beta$. (1)
Тогда $L/u = (2l + L \sin \alpha) / \upsilon \cdot \cos \beta$ (2)
Теорема косинусов дает соотношение:
$L^{2} = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} - 2 l_{1} l_{2} \cos 2\beta$.
С учетом (1), а также формулы $\cos 2\beta = 2\cos^{2}\beta - 1$, получаем выражение:
$\frac{1}{\cos^{2}\beta} = \frac{L^{2} + 4l^{2} + 4lL \sin \alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha} = 1 + \frac{L^{2}\cos^{2}\alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha}$.
Подставив его в (2), имеем:
$\frac{L}{u} = \frac{2l + L \sin \alpha}{\upsilon} \sqrt{1 + \frac{L^{2}\cos^{2}\alpha}{4l^{2} + L^{2}\sin^{2}\alpha + 4l L \sin \alpha}}$.
После несколько громоздких, но элементарных преобразований найдем, что $L = \frac{2 \cdot u \cdot l}{\upsilon^{2}-u^{2}} (u \cdot \sin \alpha + \sqrt{\upsilon^{2}-u^{2}\cos^{2}\alpha})$.
