Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16540
2025-02-16 
Длинный железнодорожный состав движется по инерции по горизонтальным рельсам, а затем въезжает на горку с углом наклона $\alpha$ к горизонту. Состав полностью остановился, въехав на горку, на половину своей длины. Сколько времени прошло от начала подъёма до остановки? Длина состава $L$. Трением и длиной переходного участка пути при въезде на горку пренебречь.
Решение:
Второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось $Ox$, которая направлена вдоль горки в сторону движения состава, имеет вид
$Ma = -mg \sin \alpha,$
где $m = \frac{M}{L} x$ - масса въехавшей на горку части состава, $x$ - длина въехавшей на горку части состава.
Уравнение движения можно привести к виду
$M x^{ \prime \prime} + \frac{Mg}{L} \sin \alpha \, x = 0$ или$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{L} x = 0.$
Полученное выражение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний вида $x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0.$
Здесь $\frac{g \sin \alpha}{L} = \omega_{0}^{2},$ где $\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T}$ - циклическая частота.
Отсюда период
$T = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}.$
От начала подъёма до остановки пройдет четверть периода:
$ t = \frac{1}{4} T = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}. $
Ответ: $ t = \frac{ \pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g \sin \alpha}}. $
Длинный железнодорожный состав движется по инерции по горизонтальным рельсам, а затем въезжает на горку с углом наклона $\alpha$ к горизонту. Состав полностью остановился, въехав на горку, на половину своей длины. Сколько времени прошло от начала подъёма до остановки? Длина состава $L$. Трением и длиной переходного участка пути при въезде на горку пренебречь.
Решение:
Второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось $Ox$, которая направлена вдоль горки в сторону движения состава, имеет вид
$Ma = -mg \sin \alpha,$
где $m = \frac{M}{L} x$ - масса въехавшей на горку части состава, $x$ - длина въехавшей на горку части состава.
Уравнение движения можно привести к виду
$M x^{ \prime \prime} + \frac{Mg}{L} \sin \alpha \, x = 0$ или$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{L} x = 0.$
Полученное выражение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний вида $x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0.$
Здесь $\frac{g \sin \alpha}{L} = \omega_{0}^{2},$ где $\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T}$ - циклическая частота.
Отсюда период
$T = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}.$
От начала подъёма до остановки пройдет четверть периода:
$ t = \frac{1}{4} T = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}. $
Ответ: $ t = \frac{ \pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g \sin \alpha}}. $
