Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16521
2025-01-30 
В сосуды с известной жидкостью поместили легкий (плотностью $\rho_{1} < \rho_{ж}$) и тяжелый шарик (плотностью $\rho_{2} > \rho_{ж}$), прикрепленные на нити длиной $l$ (рис.). Расстояние от оси симметрии до точки прикрепления нити равно $r$. Сосуды приводят во вращение вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega$. Что будет происходить с шариками?
Решение:
Этой известной задаче можно дать весьма поучительное решение. Начнем с напоминания того, что в механике рассматриваются два типа систем отсчета: инерциальные и неинерциальные. В инерциальных системах отсчета имеет место I-й закон Ньютона и тело покоится, если на него не действуют никакие силы. В противоположность этому в неинерциальной системе отсчета тело может иметь ускорение и в том случае, когда на него не действуют никакие внешние силы. Пример. Вы едете в автобусе, который делает резкий поворот, тогда Вас тянет в сторону, противоположную центру окружности, другой который является поворотом. Тем самым говорят, что в неинерциальных системах отсчета действует сила инерции, равная $\vec{F}_{n} = -m \vec{a},$ где $\vec{a}$ - ускорение неинерциальной системы отсчета. Кроме того, отметим, что действие силы инерции в принципе подобно действию силы тяжести: если бы сбоку от автобуса на некоторое время включили источник гравитационного поля, то Вас точно так же потянуло бы к нему. Тождественность сил инерции и гравитационных сил (принцип эквивалентности инертной и гравитационной массы) была отмечена впервые А. Эйнштейном и легла в основу общей теории относительности. В нашем случае в неинерциальной системе отсчета, связанной с шариком, центростремительное ускорение - $\vec{a}_{ц}$ полностью подобно наличию некоторого эффекта $\vec{g}_{эф} = \vec{a}_{ц}.$
Наличие гравитационного поля Земли приводит к действию на шарик двух сил - тяжести $mg$ и Архимеда $\vec{F}_{A} = \rho_{ж} g V$. Их результирующая сила, называемая подъемной силой, равна $\vec{F}_{1} = | \rho V ( \rho_{ж} - \rho_{Т})$ и направлена вверх, то есть против $\vec{g},$ при $\rho_{ж} > \rho_{Т},$ и вниз, то есть по направлению $\vec{g}$, при $\rho_{ж} < \rho_{Т}.$ В неинерциальной системе отсчета, связанной с шариками, в горизонтальном направлении имеем $\vec{g}_{эф} = -\vec{a}_{ц}$, поэтому в горизонтальном направлении на них будет действовать сила
$F_{2} = |g_{эф}V(\rho_{ж} - \rho_{Т})| = |a_{ц} V (\rho_{ж} - \rho_{Т})|. \quad (1)$
В соответствии с приведенными рассуждениями ее направление в двух рассматриваемых случаях показано на рис. а, б. В каждом из случаев в неинерциальной системе отсчета, связанной с шариком, имеем условие его равновесия
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{T} = 0. \quad (2)$
В проекциях на оси получаем
$Ox: \quad F_{2} - T \sin \alpha = 0,$
$Oy: \quad F_{1} - T \cos \alpha = 0. \quad (3)$
Отсюда можно установить, что
$tg \alpha = \frac{a_{ц}}{g}.$
В случае легкого шарика: $a_{ц} = \left( r - l \sin \alpha \right) \omega^{2},$ в случае тяжелого:
$a_{ц} = \left( r + l \sin \alpha \right) \omega^{2}.$
Поэтому имеем два решения, связывающие между собой угол отклонения от вертикали и угловую скорость вращения сосуда, которые удобно записать так:
$ a: \quad \omega^{2} = \frac{g tg \alpha}{r - l \sin \alpha} \quad (4) $
$ б: \quad \omega^{2} = \frac{gtg \alpha}{r + l \sin \alpha} \quad (5) $
В случае если $ r < l $ , предельный угол, на который отклонится шарик в ситуации $ a $, равен
$ \alpha_{1m} = \arcsin \left( \frac{r}{l} \right ) < \frac{ \pi}{2}. $
Этот угол соответствует положению шарика на оси. В ситуации $ б $ при $ \omega \rightarrow \infty $ угол $ \alpha \rightarrow \frac{ \pi}{2}. $ Однако если $ r \geq l $, то и в ситуации $ a $ при $ \omega \rightarrow \infty $ угол $ \alpha \rightarrow \frac{ \pi}{2}. $
В сосуды с известной жидкостью поместили легкий (плотностью $\rho_{1} < \rho_{ж}$) и тяжелый шарик (плотностью $\rho_{2} > \rho_{ж}$), прикрепленные на нити длиной $l$ (рис.). Расстояние от оси симметрии до точки прикрепления нити равно $r$. Сосуды приводят во вращение вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega$. Что будет происходить с шариками?
Решение:
Этой известной задаче можно дать весьма поучительное решение. Начнем с напоминания того, что в механике рассматриваются два типа систем отсчета: инерциальные и неинерциальные. В инерциальных системах отсчета имеет место I-й закон Ньютона и тело покоится, если на него не действуют никакие силы. В противоположность этому в неинерциальной системе отсчета тело может иметь ускорение и в том случае, когда на него не действуют никакие внешние силы. Пример. Вы едете в автобусе, который делает резкий поворот, тогда Вас тянет в сторону, противоположную центру окружности, другой который является поворотом. Тем самым говорят, что в неинерциальных системах отсчета действует сила инерции, равная $\vec{F}_{n} = -m \vec{a},$ где $\vec{a}$ - ускорение неинерциальной системы отсчета. Кроме того, отметим, что действие силы инерции в принципе подобно действию силы тяжести: если бы сбоку от автобуса на некоторое время включили источник гравитационного поля, то Вас точно так же потянуло бы к нему. Тождественность сил инерции и гравитационных сил (принцип эквивалентности инертной и гравитационной массы) была отмечена впервые А. Эйнштейном и легла в основу общей теории относительности. В нашем случае в неинерциальной системе отсчета, связанной с шариком, центростремительное ускорение - $\vec{a}_{ц}$ полностью подобно наличию некоторого эффекта $\vec{g}_{эф} = \vec{a}_{ц}.$
Наличие гравитационного поля Земли приводит к действию на шарик двух сил - тяжести $mg$ и Архимеда $\vec{F}_{A} = \rho_{ж} g V$. Их результирующая сила, называемая подъемной силой, равна $\vec{F}_{1} = | \rho V ( \rho_{ж} - \rho_{Т})$ и направлена вверх, то есть против $\vec{g},$ при $\rho_{ж} > \rho_{Т},$ и вниз, то есть по направлению $\vec{g}$, при $\rho_{ж} < \rho_{Т}.$ В неинерциальной системе отсчета, связанной с шариками, в горизонтальном направлении имеем $\vec{g}_{эф} = -\vec{a}_{ц}$, поэтому в горизонтальном направлении на них будет действовать сила
$F_{2} = |g_{эф}V(\rho_{ж} - \rho_{Т})| = |a_{ц} V (\rho_{ж} - \rho_{Т})|. \quad (1)$
В соответствии с приведенными рассуждениями ее направление в двух рассматриваемых случаях показано на рис. а, б. В каждом из случаев в неинерциальной системе отсчета, связанной с шариком, имеем условие его равновесия
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{T} = 0. \quad (2)$
В проекциях на оси получаем
$Ox: \quad F_{2} - T \sin \alpha = 0,$
$Oy: \quad F_{1} - T \cos \alpha = 0. \quad (3)$
Отсюда можно установить, что
$tg \alpha = \frac{a_{ц}}{g}.$
В случае легкого шарика: $a_{ц} = \left( r - l \sin \alpha \right) \omega^{2},$ в случае тяжелого:
$a_{ц} = \left( r + l \sin \alpha \right) \omega^{2}.$
Поэтому имеем два решения, связывающие между собой угол отклонения от вертикали и угловую скорость вращения сосуда, которые удобно записать так:
$ a: \quad \omega^{2} = \frac{g tg \alpha}{r - l \sin \alpha} \quad (4) $
$ б: \quad \omega^{2} = \frac{gtg \alpha}{r + l \sin \alpha} \quad (5) $
В случае если $ r < l $ , предельный угол, на который отклонится шарик в ситуации $ a $, равен
$ \alpha_{1m} = \arcsin \left( \frac{r}{l} \right ) < \frac{ \pi}{2}. $
Этот угол соответствует положению шарика на оси. В ситуации $ б $ при $ \omega \rightarrow \infty $ угол $ \alpha \rightarrow \frac{ \pi}{2}. $ Однако если $ r \geq l $, то и в ситуации $ a $ при $ \omega \rightarrow \infty $ угол $ \alpha \rightarrow \frac{ \pi}{2}. $
