Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16432
2024-03-16 
Между двумя средами с показателями преломления $n_{0} > 1$ и $n_{1} = 1$ имеется неоднородный слой высоты $h = H \left ( 1 - \frac{1}{n_{0}^{2}} \right )$, где $H = const$, внутри которого показатель преломления меняется с высотой по закону $n = n_{0} \sqrt{1 - \frac{y}{H}}$ (см. рисунок). Из среды с показателем преломления $n_{0}$ в неоднородный слой входит луч света. При каких значениях угла $\alpha$ луч вернется в оптически более плотную среду? При каком значении угла $\alpha_{0}$ расстояние между точками входа и выхода луча максимально?
Решение:
Из закона преломления света следует, что при изменяющемся коэффициенте преломления среды изменяется угол $\phi$ отклонения луча от нормали (к границе раздела между соседними участками среды с разными значениями $n$), причем
$n \sin \phi = n \cos \alpha = n_{0} \sin \phi_{0} = n_{0} \cos \alpha_{0} = const,$ где $\alpha = \frac{ \pi}{2} - \phi$
Для нахождения траектории луча в неоднородной среде воспользуемся следующей аналогией: тело массы $m$ (размеры тела пренебрежимо малы) движется по траектории луча, скорость тела в точке с ординатой $y$ равна $v(y) = v_{0}n_{y}$ ($v_{0}$ - величина начальной скорости тела в точке с ординатой 0). Тогда проекция скорости на границу раздела (горизонтальная проекция) остается постоянной. Если при этом на точку действует постоянная сила $F = \frac{mv_{0}^{2}}{2H}$, направленная вертикально вниз, то согласно закону сохранения энергии в любой точке траектории
$\frac{m(v(y))^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} - m \frac{v_{0}^{2}}{2H}y$.
Видно, что при заданном законе изменения $n(y)$ траектории луча совпадает с траекторией тела, брошенного под углом к горизонту и движущегося под действием «силы тяжести» $F = \frac{mv_{0}^{2}}{2H}$. Поэтому для ответа на поставленные в задаче вопросы можно воспользоваться формулами для такого движения, что «ускорение свободного падения» в нашем случае равно $«g» = \frac{v_{0}^{2}}{2H}$.
Итак, расстояние $l$ между точками входа и выхода луча будет максимальным, если луч входит в неоднородную среду под углом $\phi_{0} = 45^{ \circ}$. При этом
$l_{max} = \frac{2vA_{0}^{2} \sin \alpha_{0} \cos \alpha_{0}}{ \frac{v_{0}^{2}}{2H}} = 2H$ (так как $\alpha_{0} = \frac{ \pi}{2} - \phi_{0} = 45^{ \circ}$).
Для того, чтобы при $\alpha_{0} = 45^{ \circ}$ луч не прошел в верхнюю однородную среду, высота $h$ неоднородной области должна удовлетворять условию $h \geq \frac{H}{2}$. В противном случае ($h < \frac{H}{2}$) максимальное расстояние между точками входа и выхода луча соответствует такому углу $\alpha_{0}^{ \prime}$, при котором высота траектории равна $h^{ \prime}$, то есть траектория касается верхней границы раздела. Этот угол $\alpha_{0}^{ \prime}$ находим из условия
$n_{0} \cos \alpha_{0}^{ \prime} = n(y = h^{ \prime}) \cos 0^{ \circ} = n_{0} \sqrt{1 - \frac{h^{ \prime}}{H}}$;
$\cos \alpha_{0}^{ \prime} = \sqrt{1 - \frac{h^{ \prime}}{H}}$.
Между двумя средами с показателями преломления $n_{0} > 1$ и $n_{1} = 1$ имеется неоднородный слой высоты $h = H \left ( 1 - \frac{1}{n_{0}^{2}} \right )$, где $H = const$, внутри которого показатель преломления меняется с высотой по закону $n = n_{0} \sqrt{1 - \frac{y}{H}}$ (см. рисунок). Из среды с показателем преломления $n_{0}$ в неоднородный слой входит луч света. При каких значениях угла $\alpha$ луч вернется в оптически более плотную среду? При каком значении угла $\alpha_{0}$ расстояние между точками входа и выхода луча максимально?
Решение:
Из закона преломления света следует, что при изменяющемся коэффициенте преломления среды изменяется угол $\phi$ отклонения луча от нормали (к границе раздела между соседними участками среды с разными значениями $n$), причем
$n \sin \phi = n \cos \alpha = n_{0} \sin \phi_{0} = n_{0} \cos \alpha_{0} = const,$ где $\alpha = \frac{ \pi}{2} - \phi$
Для нахождения траектории луча в неоднородной среде воспользуемся следующей аналогией: тело массы $m$ (размеры тела пренебрежимо малы) движется по траектории луча, скорость тела в точке с ординатой $y$ равна $v(y) = v_{0}n_{y}$ ($v_{0}$ - величина начальной скорости тела в точке с ординатой 0). Тогда проекция скорости на границу раздела (горизонтальная проекция) остается постоянной. Если при этом на точку действует постоянная сила $F = \frac{mv_{0}^{2}}{2H}$, направленная вертикально вниз, то согласно закону сохранения энергии в любой точке траектории
$\frac{m(v(y))^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} - m \frac{v_{0}^{2}}{2H}y$.
Видно, что при заданном законе изменения $n(y)$ траектории луча совпадает с траекторией тела, брошенного под углом к горизонту и движущегося под действием «силы тяжести» $F = \frac{mv_{0}^{2}}{2H}$. Поэтому для ответа на поставленные в задаче вопросы можно воспользоваться формулами для такого движения, что «ускорение свободного падения» в нашем случае равно $«g» = \frac{v_{0}^{2}}{2H}$.
Итак, расстояние $l$ между точками входа и выхода луча будет максимальным, если луч входит в неоднородную среду под углом $\phi_{0} = 45^{ \circ}$. При этом
$l_{max} = \frac{2vA_{0}^{2} \sin \alpha_{0} \cos \alpha_{0}}{ \frac{v_{0}^{2}}{2H}} = 2H$ (так как $\alpha_{0} = \frac{ \pi}{2} - \phi_{0} = 45^{ \circ}$).
Для того, чтобы при $\alpha_{0} = 45^{ \circ}$ луч не прошел в верхнюю однородную среду, высота $h$ неоднородной области должна удовлетворять условию $h \geq \frac{H}{2}$. В противном случае ($h < \frac{H}{2}$) максимальное расстояние между точками входа и выхода луча соответствует такому углу $\alpha_{0}^{ \prime}$, при котором высота траектории равна $h^{ \prime}$, то есть траектория касается верхней границы раздела. Этот угол $\alpha_{0}^{ \prime}$ находим из условия
$n_{0} \cos \alpha_{0}^{ \prime} = n(y = h^{ \prime}) \cos 0^{ \circ} = n_{0} \sqrt{1 - \frac{h^{ \prime}}{H}}$;
$\cos \alpha_{0}^{ \prime} = \sqrt{1 - \frac{h^{ \prime}}{H}}$.
