ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Тепловая машина, рабочим телом которой является реальный газ, работает по следующему циклу: вначале газ адиабатически нагревается в два раза, затем охлаждается до прежней температуры политропически, после чего изотермически переводится в начальное состояние. Определить КПД машины.


Решение:



Изобразим цикл тепловой машины на диаграмме в переменных $T, S$ (см. рисунок). Пусть теплоемкость в политропическом процессе $C$. Тогда количество теплоты, получаемое тепловой машиной

$Q_{+} = C(T_{1} - T_{2})$. (1)

Уравнение политропы найдем из соотношения

$TdS = CdT$.

Разделяя переменные

$\frac{dT}{T} = \frac{dS}{C}$,

получим:

$ln T = \frac{S}{C} + const$.

Используя обозначения изображенные на рисунке, можно записать:

$ln T_{1} - ln T_{2} = \frac{S_{2}}{C} - \frac{S_{1}}{C}$,

откуда

$S_{2} - S_{1} = C ln \frac{T_{1}}{T_{2}}$.

Тогда количество теплоты, отдаваемое холодильнику, равно

$Q_{-} = T_{1} (S_{2} - S_{1}) = CT_{1} ln \frac{T_{1}}{T_{2}}$. (2)

Выражения (1) и (2) подставим в формулу КПД тепловой машины:

$\eta = 1 - \frac{Q_{-}}{Q_{+}} = 1 - \frac{CT_{1}ln \frac{T_{1}}{T_{2}} }{C(T_{1} - T_{2})} = 1 - \frac{ln \frac{T_{2}}{T_{1}}}{ \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 }$.

С учетом того, что по условию задачи $\frac{T_{2}}{T_{1}} = 2$, получим ответ:

$\eta = 1 - ln 2 \approx 31$%