Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16185
2023-08-29 
Кусочек стекла взвешивают в вакууме на рычажных весах чувствительностью $m_{0} =0,5 мг$ с помощью железных гирь. Чтобы вынуть образец, в вакуумную камеру пустили воздух и дождались, когда давления в камере и в комнате выровняются. Определите, при какой минимальной массе стекла после установления равенства давлений весы гарантированно выйдут из равновесия.
Плотность стекла 2,5 $г/см^{3}$, плотность железа 7,8 $г/см^{3}$, плотность воздуха 1,2 $кг/м^{3}$. Температура воздуха и атмосферное давление во время опыта не меняются.
Примечание: чувствительность весов равна максимальной массе груза, который не выводит весы из равновесия.
Решение:
Обозначим $\rho_{в}$ плотность воздуха, $m_{1}, V_{1}, \rho_{1}$ и $m_{2}, V_{2}, \rho_{2}$ массы, объёмы и плотности стёклышка и гирь, соответственно.
Поскольку в вакууме весы находились в равновесии, то $m_{2} - m_{0} < m_{1} < m_{2} + m_{0}$. В воздухе на стёклышко и гири действует силы Архимеда $F_{A1} = g \rho_{в}V_{1}$ и $F_{A2} = g \rho_{в}V_{2}$, соответственно; тогда с учётом поправки $P_{1} = gm_{1} - g \rho_{в}V_{1}$ и $P_{2} = gm_{2} - g \rho_{в}V_{2}$. Естественно полагать, что $m_{0}$ пренебрежимо мало по сравнению с $m_{1}$ и $m_{2}$ (иначе результаты взвешивания имели бы большую погрешность). Тогда, так как $\rho_{2} > \rho_{1}$, то $V_{2} < V_{1}$ и $P_{2} > P_{1}$. То есть чаша с гирями стремится опуститься, а чаша со стёклышком подняться. Чтобы весы вышли из равновесия, разница весов $P_{2} - P_{1}$ должна быть больше $gm_{0}$. Значит,
$m_{2} - m_{1} - \rho_{в} (V_{2} - V_{1}) > m_{0}$.
Используя равенства $m_{1} = \rho_{1} V{1}$ и $m_{2} = \rho_{2} V_{2}$, получим
$\rho_{в} m_{1} \frac{ \rho_{2} - \rho_{1}}{ \rho_{1} \rho_{2}} > m_{0} + (m_{1} - m_{2}) \left ( 1 + \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{2}} \right )$.
Поскольку плотность воздуха в несколько тысяч раз меньше плотности золота, то слагаемым $\frac{ \rho_{в}}{ \rho_{2}}$ в скобках можно пренебречь по сравнению с 1. Правая часть неравенства принимает наибольшее значение при наибольшей возможной разнице масс гирь и стёклышка - $m_{1} - m_{2} = m_{0}$. Следовательно, минимальная масса стёклышка, при которой весы выйдут из равновесия, равна
$m_{1} = \frac{2m_{0}}{ \rho_{в}} \frac{ \rho_{2} \rho_{1}}{ \rho_{2} - \rho_{1}} \approx 3,1 г$.
Ответ: 3,1 г.
Кусочек стекла взвешивают в вакууме на рычажных весах чувствительностью $m_{0} =0,5 мг$ с помощью железных гирь. Чтобы вынуть образец, в вакуумную камеру пустили воздух и дождались, когда давления в камере и в комнате выровняются. Определите, при какой минимальной массе стекла после установления равенства давлений весы гарантированно выйдут из равновесия.
Плотность стекла 2,5 $г/см^{3}$, плотность железа 7,8 $г/см^{3}$, плотность воздуха 1,2 $кг/м^{3}$. Температура воздуха и атмосферное давление во время опыта не меняются.
Примечание: чувствительность весов равна максимальной массе груза, который не выводит весы из равновесия.
Решение:
Обозначим $\rho_{в}$ плотность воздуха, $m_{1}, V_{1}, \rho_{1}$ и $m_{2}, V_{2}, \rho_{2}$ массы, объёмы и плотности стёклышка и гирь, соответственно.
Поскольку в вакууме весы находились в равновесии, то $m_{2} - m_{0} < m_{1} < m_{2} + m_{0}$. В воздухе на стёклышко и гири действует силы Архимеда $F_{A1} = g \rho_{в}V_{1}$ и $F_{A2} = g \rho_{в}V_{2}$, соответственно; тогда с учётом поправки $P_{1} = gm_{1} - g \rho_{в}V_{1}$ и $P_{2} = gm_{2} - g \rho_{в}V_{2}$. Естественно полагать, что $m_{0}$ пренебрежимо мало по сравнению с $m_{1}$ и $m_{2}$ (иначе результаты взвешивания имели бы большую погрешность). Тогда, так как $\rho_{2} > \rho_{1}$, то $V_{2} < V_{1}$ и $P_{2} > P_{1}$. То есть чаша с гирями стремится опуститься, а чаша со стёклышком подняться. Чтобы весы вышли из равновесия, разница весов $P_{2} - P_{1}$ должна быть больше $gm_{0}$. Значит,
$m_{2} - m_{1} - \rho_{в} (V_{2} - V_{1}) > m_{0}$.
Используя равенства $m_{1} = \rho_{1} V{1}$ и $m_{2} = \rho_{2} V_{2}$, получим
$\rho_{в} m_{1} \frac{ \rho_{2} - \rho_{1}}{ \rho_{1} \rho_{2}} > m_{0} + (m_{1} - m_{2}) \left ( 1 + \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{2}} \right )$.
Поскольку плотность воздуха в несколько тысяч раз меньше плотности золота, то слагаемым $\frac{ \rho_{в}}{ \rho_{2}}$ в скобках можно пренебречь по сравнению с 1. Правая часть неравенства принимает наибольшее значение при наибольшей возможной разнице масс гирь и стёклышка - $m_{1} - m_{2} = m_{0}$. Следовательно, минимальная масса стёклышка, при которой весы выйдут из равновесия, равна
$m_{1} = \frac{2m_{0}}{ \rho_{в}} \frac{ \rho_{2} \rho_{1}}{ \rho_{2} - \rho_{1}} \approx 3,1 г$.
Ответ: 3,1 г.
