Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15784
2023-06-14 
Электрон с энергией $E = 100эВ$ падает на прямоугольный потенциальный барьер бесконечной протяженности, имеющий высоту $U_{0} = 150 эВ$. Определить эффективную глубину проникновения электрона в область барьера.
Решение:
В области $x < 0$ волновая функция электрона имеет вид падающей на барьер и отраженной от него волн (см. задачу 15783).
$\Psi (x,t) = A e^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t - k_{1}x \right ) } + Be^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t + k_{1}x \right ) }$
В области $x \geq 0$ уравнение Шредингера можно записать в виде:
$\frac{d^{2} \Psi_{2}}{dx^{2}} - \frac{2m}{ \hbar^{2}} (U_{0} - E) \Psi_{2} = 0$
Решение такого уравнения:
$\Psi_{2} (x) = Ce^{-k_{2}x} + D e^{k_{2}x}$, где $k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(U_{0} - E)} }{ \hbar }$.
Чтобы $\Psi_{2}$ была ограниченной при $x \rightarrow \infty$, положим $D = 0$.
$\Psi_{2} (x) = Ce^{-k_{2}x}$
Далее из требования непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке $x = 0$ получим: $A + B = C; ik_{1}A - ik_{1}B = - k_{2}C$. Из двух последних уравнений следует:
$B = A \frac{ik_{1} + k_{2}}{ik_{1} - k_{2}}$ и $R = \left | \frac{B}{A} \right |^{2} = 1$.
Итак, коэффициент отражения в случае $E < U_{0} \: R = 1$. Частица наверняка отразится от барьера. Этот вывод совпадает с результатом решения подобной задачи по законам классической механики.
Однако, в отличие от классического рассмотрения, вероятность обнаружить частицу в области $x > 0$ не равна нулю, так как $| \Psi_{2} |^{2}$ экспоненциально убывает с удалением от точки х $x = 0$. Расстояние $l$, на котором плотность вероятности обнаружить частицу уменьшается в $e$ раз, называется эффективной глубиной проникновения.
$| \Psi_{2} |^{2} = C^{2}e^{- 2k_{2}x}$;
$| \Psi_{2}(0) |^{2} = C^{2}; | \Psi_{2}(l) |^{2} = C^{2}e^{-1}$;
Следовательно $l = \frac{1}{2k_{2}}$. Подставив сюда выражение для $k_{2}$ получим $l= l_{эфф} = \frac{ \hbar}{2 \sqrt{2m (U_{0} - E )}}$. Проведя вычисления, найдем $l = 12 пм$.
Электрон с энергией $E = 100эВ$ падает на прямоугольный потенциальный барьер бесконечной протяженности, имеющий высоту $U_{0} = 150 эВ$. Определить эффективную глубину проникновения электрона в область барьера.
Решение:
В области $x < 0$ волновая функция электрона имеет вид падающей на барьер и отраженной от него волн (см. задачу 15783).
$\Psi (x,t) = A e^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t - k_{1}x \right ) } + Be^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t + k_{1}x \right ) }$
В области $x \geq 0$ уравнение Шредингера можно записать в виде:
$\frac{d^{2} \Psi_{2}}{dx^{2}} - \frac{2m}{ \hbar^{2}} (U_{0} - E) \Psi_{2} = 0$
Решение такого уравнения:
$\Psi_{2} (x) = Ce^{-k_{2}x} + D e^{k_{2}x}$, где $k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(U_{0} - E)} }{ \hbar }$.
Чтобы $\Psi_{2}$ была ограниченной при $x \rightarrow \infty$, положим $D = 0$.
$\Psi_{2} (x) = Ce^{-k_{2}x}$
Далее из требования непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке $x = 0$ получим: $A + B = C; ik_{1}A - ik_{1}B = - k_{2}C$. Из двух последних уравнений следует:
$B = A \frac{ik_{1} + k_{2}}{ik_{1} - k_{2}}$ и $R = \left | \frac{B}{A} \right |^{2} = 1$.
Итак, коэффициент отражения в случае $E < U_{0} \: R = 1$. Частица наверняка отразится от барьера. Этот вывод совпадает с результатом решения подобной задачи по законам классической механики.
Однако, в отличие от классического рассмотрения, вероятность обнаружить частицу в области $x > 0$ не равна нулю, так как $| \Psi_{2} |^{2}$ экспоненциально убывает с удалением от точки х $x = 0$. Расстояние $l$, на котором плотность вероятности обнаружить частицу уменьшается в $e$ раз, называется эффективной глубиной проникновения.
$| \Psi_{2} |^{2} = C^{2}e^{- 2k_{2}x}$;
$| \Psi_{2}(0) |^{2} = C^{2}; | \Psi_{2}(l) |^{2} = C^{2}e^{-1}$;
Следовательно $l = \frac{1}{2k_{2}}$. Подставив сюда выражение для $k_{2}$ получим $l= l_{эфф} = \frac{ \hbar}{2 \sqrt{2m (U_{0} - E )}}$. Проведя вычисления, найдем $l = 12 пм$.
