Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15783
2023-06-14 
Частица, движущаяся вдоль оси $X$, встречает бесконечно протяженный потенциальный барьер. Найти коэффициент отражения барьера для случая $\frac{E}{U_{0}} = 2$, где $E$ - энергия частицы, $U_{0}$ - высота барьера.
Решение:
Возьмем начало барьера в точке $x = 0$. Тогда потенциальная энергия при $x < 0$ равна 0, при $x \geq 0$ $U = U_{0}$. В области $x < 0$ уравнение $\Delta \Psi + \frac{2m}{ \hbar^{2}} (E - U) \Psi = 0$ имеет вид:
$\frac{ d^{2} \Psi_{1}}{dx^{2}} + \frac{2m}{ \hbar^{2}} E \Psi_{1} = 0$
Общее решение такого уравнения: $\Psi = A e^{ik_{1}x} + Be^{-ik_{1}x}$, где $k_{1} = \frac{ \sqrt{2mE}}{ \hbar}$. Волновая функция частицы в области $x < 0$
$\Psi(x,t) = Ae^{- i \left ( \frac{E}{ \hbar } t - k_{1}x \right )} + B e^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t + k_{1}x \right ) }$
Здесь первое слагаемое представляет волну, падающую на барьер, второе - волну, отраженную от барьера. Коэффициент отражения $R$ определяется как $R = \left | \frac{B}{A} \right |^{2}$.
В области $x \geq 0$: $\frac{d^{2} \Psi_{2} }{dx^{2} } + \frac{2m}{ \hbar^{2} } (E - U_{0}) \Psi_{2} = 0$.
Решение этого уравнения: $\Psi = Ce^{ik_{2}x} + De^{-ik_{2}x}$, где $k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(E - U_{0})} }{ \hbar}$;
$\Psi(x,t ) = Ce^{- i \left ( \frac{E}{ \hbar }t - k_{2}x \right ) } + De^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar }t + k_{2}x \right ) }$.
Второе слагаемое в этом решении представляет волну, бегущую в отрицательном направлении оси $X$. Поскольку барьер имеет бесконечную протяженность, отражения волны в области $x \geq 0$ произойти не может. Следовательно, $D = 0$. Получаем
$\Psi(x, t ) = Ce^{ - \left ( \frac{E}{ \hbar} t - k_{2}x \right ) }$,
что описывает проходящую в область барьера волну.
Из непрерывности волновой функции в точке $x = 0$ имеем
$\Psi_{1}(0) = \Psi_{2}(0)$, что дает $A + B = C$.
Из непрерывности первых производных $\Psi_{1}^{ \prime}(0) = \Psi_{2}^{ \prime} (0)$ получаем
$Ak_{1} - Bk_{1} = Ck_{2}$.
Подставив сюда $C = A + B$, получим
$\frac{B}{A} = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$ и $R = \frac{(k_{1} - k_{2})^{2}}{(k_{1} + k_{2})^{2}}$.
Используя выражения для $k_{1}$ и $k_{2}$, найдем
$R = \frac{ \left (1 - \sqrt{ 1 - \frac{U_{0}}{E} } \right )^{2}}{ \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{U_{0}}{E} } \right )^{2} }$.
Численный расчет дает $R = 0,0295$. Классическая частица с энергией $E > U_{0}$ наверняка прошла бы в область $x > 0$, т.е. для нее $R = 0$. Квантовомеханическое рассмотрение показывает, что с вероятностью 2,95% частица отразится от барьера, а с вероятностью 97,05% пройдет в область $x > 0$.
Частица, движущаяся вдоль оси $X$, встречает бесконечно протяженный потенциальный барьер. Найти коэффициент отражения барьера для случая $\frac{E}{U_{0}} = 2$, где $E$ - энергия частицы, $U_{0}$ - высота барьера.
Решение:
Возьмем начало барьера в точке $x = 0$. Тогда потенциальная энергия при $x < 0$ равна 0, при $x \geq 0$ $U = U_{0}$. В области $x < 0$ уравнение $\Delta \Psi + \frac{2m}{ \hbar^{2}} (E - U) \Psi = 0$ имеет вид:
$\frac{ d^{2} \Psi_{1}}{dx^{2}} + \frac{2m}{ \hbar^{2}} E \Psi_{1} = 0$
Общее решение такого уравнения: $\Psi = A e^{ik_{1}x} + Be^{-ik_{1}x}$, где $k_{1} = \frac{ \sqrt{2mE}}{ \hbar}$. Волновая функция частицы в области $x < 0$
$\Psi(x,t) = Ae^{- i \left ( \frac{E}{ \hbar } t - k_{1}x \right )} + B e^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar } t + k_{1}x \right ) }$
Здесь первое слагаемое представляет волну, падающую на барьер, второе - волну, отраженную от барьера. Коэффициент отражения $R$ определяется как $R = \left | \frac{B}{A} \right |^{2}$.
В области $x \geq 0$: $\frac{d^{2} \Psi_{2} }{dx^{2} } + \frac{2m}{ \hbar^{2} } (E - U_{0}) \Psi_{2} = 0$.
Решение этого уравнения: $\Psi = Ce^{ik_{2}x} + De^{-ik_{2}x}$, где $k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(E - U_{0})} }{ \hbar}$;
$\Psi(x,t ) = Ce^{- i \left ( \frac{E}{ \hbar }t - k_{2}x \right ) } + De^{ - i \left ( \frac{E}{ \hbar }t + k_{2}x \right ) }$.
Второе слагаемое в этом решении представляет волну, бегущую в отрицательном направлении оси $X$. Поскольку барьер имеет бесконечную протяженность, отражения волны в области $x \geq 0$ произойти не может. Следовательно, $D = 0$. Получаем
$\Psi(x, t ) = Ce^{ - \left ( \frac{E}{ \hbar} t - k_{2}x \right ) }$,
что описывает проходящую в область барьера волну.
Из непрерывности волновой функции в точке $x = 0$ имеем
$\Psi_{1}(0) = \Psi_{2}(0)$, что дает $A + B = C$.
Из непрерывности первых производных $\Psi_{1}^{ \prime}(0) = \Psi_{2}^{ \prime} (0)$ получаем
$Ak_{1} - Bk_{1} = Ck_{2}$.
Подставив сюда $C = A + B$, получим
$\frac{B}{A} = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$ и $R = \frac{(k_{1} - k_{2})^{2}}{(k_{1} + k_{2})^{2}}$.
Используя выражения для $k_{1}$ и $k_{2}$, найдем
$R = \frac{ \left (1 - \sqrt{ 1 - \frac{U_{0}}{E} } \right )^{2}}{ \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{U_{0}}{E} } \right )^{2} }$.
Численный расчет дает $R = 0,0295$. Классическая частица с энергией $E > U_{0}$ наверняка прошла бы в область $x > 0$, т.е. для нее $R = 0$. Квантовомеханическое рассмотрение показывает, что с вероятностью 2,95% частица отразится от барьера, а с вероятностью 97,05% пройдет в область $x > 0$.
