Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15781
2023-06-05 
Найти волновую функцию для свободной частицы, движущейся в положительном направлении оси $X$ с импульсом $p$.
Решение:
Положим потенциальную энергию частицы $U = 0$. Тогда уравнение Шредингера запишется в виде:
$\frac{d^{2} \Psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{ \hbar^{2}} E \Psi = 0$
Общее решение этого уравнения имеет вид:
$\Psi = Ae^{ikx} + Be^{-kx}$,
где $k = \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar } = \frac{p}{ \hbar }$ - волновое число. В соответствии с $\Psi( \vec{r}, t ) = \Psi( \vec{r} )e^{-i \frac{Et}{ \hbar } }$ волновая функция частицы равна:
$\Psi(x,t) = A e^{ - \frac{i}{ \hbar } (Et - px) } + Be^{ - \frac{i}{ \hbar } (Et + px) }$
Первое слагаемое представляет собой волну де Бройля, распространяющуюся в положительном направлении оси $X$, второе -в отрицательном. По условию задачи положим $B = 0$. Получим
$\Psi(x,t) = A e^{ - \frac{i}{ \hbar} (Et - px)}$.
Плотность вероятности
$| \Psi |^{2} = \Psi^{*} \cdot \Psi = A^{2} e^{+ \frac{i}{ \hbar} (Et - px)} \cdot e^{- \frac{i}{ \hbar} (Et - px)} = A^{2}$.
Поскольку $| \Psi |^{2}$ не зависит от $x$, частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке оси $X$. Таким образом, при определенном значении импульса частицы $p$, частица оказывается полностью нелокализованной.
Найти волновую функцию для свободной частицы, движущейся в положительном направлении оси $X$ с импульсом $p$.
Решение:
Положим потенциальную энергию частицы $U = 0$. Тогда уравнение Шредингера запишется в виде:
$\frac{d^{2} \Psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{ \hbar^{2}} E \Psi = 0$
Общее решение этого уравнения имеет вид:
$\Psi = Ae^{ikx} + Be^{-kx}$,
где $k = \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar } = \frac{p}{ \hbar }$ - волновое число. В соответствии с $\Psi( \vec{r}, t ) = \Psi( \vec{r} )e^{-i \frac{Et}{ \hbar } }$ волновая функция частицы равна:
$\Psi(x,t) = A e^{ - \frac{i}{ \hbar } (Et - px) } + Be^{ - \frac{i}{ \hbar } (Et + px) }$
Первое слагаемое представляет собой волну де Бройля, распространяющуюся в положительном направлении оси $X$, второе -в отрицательном. По условию задачи положим $B = 0$. Получим
$\Psi(x,t) = A e^{ - \frac{i}{ \hbar} (Et - px)}$.
Плотность вероятности
$| \Psi |^{2} = \Psi^{*} \cdot \Psi = A^{2} e^{+ \frac{i}{ \hbar} (Et - px)} \cdot e^{- \frac{i}{ \hbar} (Et - px)} = A^{2}$.
Поскольку $| \Psi |^{2}$ не зависит от $x$, частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке оси $X$. Таким образом, при определенном значении импульса частицы $p$, частица оказывается полностью нелокализованной.
