Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15780
2023-06-05 
Частица с массой $m$ и энергией $E$ находится в поле потенциального барьера: $U = 0$ ($x \leq 0$), $U = U_{0}$ ($x > 0$), причем $U_{0} > E$. С помощью соотношения неопределенностей оценить среднюю кинетическую энергию частицы внутри барьера ($x > 0$). Использовать значение эффективной глубины проникновения $l_{эфф}$, полученное в задаче 2.13.
Решение:
Область $x > 0$ в случае $E < U_{0}$ недоступна для частицы, подчиняющейся классическим законам. В этой области ее кинетическая энергия $T = E - U_{0}$ была бы отрицательна, что лишено смысла. По квантовой механике $T$ не является точно определенной величиной; при ее определении будут получаться различные значения.
Для оценки среднего значения кинетической энергии $\langle T \rangle$ воспользуемся соотношением неопределенностей $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle (p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2}}{4}$. В случае $E < U_{0}$ происходит полное отражение от барьера, поэтому в области $x > 0$ $\langle p_{x} \rangle = 0$. Примем для оценки, что неопределенность координаты порядка эффективной глубины проникновения в область $x > 0$: $\langle ( x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \approx l^{2}$. Тогда из соотношения неопределенностей получим
$\langle p_{x}^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4l^{2}}$ и $\langle T \rangle = \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} \geq \frac{ \hbar^{2} }{8ml^{2}}$.
Подставив сюда значение эффективной глубины проникновения $l_{эфф}$, полученное в задаче 2.13, $l_{эфф} = \frac{ \hbar}{2 \sqrt{2m(U_{0} - E )}}$, получим $\langle T \rangle \geq U_{0} - E$.
Частица с массой $m$ и энергией $E$ находится в поле потенциального барьера: $U = 0$ ($x \leq 0$), $U = U_{0}$ ($x > 0$), причем $U_{0} > E$. С помощью соотношения неопределенностей оценить среднюю кинетическую энергию частицы внутри барьера ($x > 0$). Использовать значение эффективной глубины проникновения $l_{эфф}$, полученное в задаче 2.13.
Решение:
Область $x > 0$ в случае $E < U_{0}$ недоступна для частицы, подчиняющейся классическим законам. В этой области ее кинетическая энергия $T = E - U_{0}$ была бы отрицательна, что лишено смысла. По квантовой механике $T$ не является точно определенной величиной; при ее определении будут получаться различные значения.
Для оценки среднего значения кинетической энергии $\langle T \rangle$ воспользуемся соотношением неопределенностей $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle (p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2}}{4}$. В случае $E < U_{0}$ происходит полное отражение от барьера, поэтому в области $x > 0$ $\langle p_{x} \rangle = 0$. Примем для оценки, что неопределенность координаты порядка эффективной глубины проникновения в область $x > 0$: $\langle ( x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \approx l^{2}$. Тогда из соотношения неопределенностей получим
$\langle p_{x}^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4l^{2}}$ и $\langle T \rangle = \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} \geq \frac{ \hbar^{2} }{8ml^{2}}$.
Подставив сюда значение эффективной глубины проникновения $l_{эфф}$, полученное в задаче 2.13, $l_{эфф} = \frac{ \hbar}{2 \sqrt{2m(U_{0} - E )}}$, получим $\langle T \rangle \geq U_{0} - E$.
