Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15779
2023-06-05 
Исходя из соотношения неопределенностей, оценить наименьшую энергию гармонического осциллятора.
Решение:
Полная энергия гармонического осциллятора равна:
$E = \frac{p_{x}^{2}}{2m} + \frac{kx^{2}}{2}$,
где $m$ - масса осциллятора, $k$ - коэффициент квазиупругой силы. Частота колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$. Таким образом, энергия осциллятора
$E = \frac{p_{x}^{2}}{2m} + \frac{m \omega^{2} x^{2} }{2}$.
Для оценки минимальной энергии запишем соотношение $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4}$ в виде
$\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2} }{4}$.
Поскольку движение осциллятора симметрично относительно положения равновесия $x = 0$, имеем $\langle x \rangle = 0, \langle p_{x} \rangle = 0$. Получаем
$\langle x^{2} \rangle \cdot \langle p_{x}^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2}}{4}; \langle x^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2} }{4 \langle p_{x}^{2} \rangle }$.
Усредним энергию осциллятора и подставим туда полученное значение $\langle x^{2} \rangle$:
$\langle E \rangle = \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} + \frac{m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle }{2} \approx \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} + \frac{ \omega^{2} m \hbar^{2} }{2 \cdot 4 \langle p_{x}^{2} \rangle }$.
Найдем $\langle p_{x}^{2} \rangle$, при котором $\langle E \rangle$ будет минимально
$\frac{d \langle E \rangle }{d \langle p_{x}^{2} \rangle } = \frac{1}{2m} - \frac{ \hbar^{2} m \omega^{2} }{8 \langle p_{x}^{2} \rangle } = 0$,
откуда $\langle p_{x}^{2} \rangle = \frac{ \hbar m \omega }{2}$ и $\langle E_{min} \rangle = \frac{ \hbar \omega }{4} + \frac{ \hbar \omega }{4} = \frac{ \hbar \omega }{2}$.
Исходя из соотношения неопределенностей, оценить наименьшую энергию гармонического осциллятора.
Решение:
Полная энергия гармонического осциллятора равна:
$E = \frac{p_{x}^{2}}{2m} + \frac{kx^{2}}{2}$,
где $m$ - масса осциллятора, $k$ - коэффициент квазиупругой силы. Частота колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$. Таким образом, энергия осциллятора
$E = \frac{p_{x}^{2}}{2m} + \frac{m \omega^{2} x^{2} }{2}$.
Для оценки минимальной энергии запишем соотношение $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4}$ в виде
$\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2} }{4}$.
Поскольку движение осциллятора симметрично относительно положения равновесия $x = 0$, имеем $\langle x \rangle = 0, \langle p_{x} \rangle = 0$. Получаем
$\langle x^{2} \rangle \cdot \langle p_{x}^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2}}{4}; \langle x^{2} \rangle \approx \frac{ \hbar^{2} }{4 \langle p_{x}^{2} \rangle }$.
Усредним энергию осциллятора и подставим туда полученное значение $\langle x^{2} \rangle$:
$\langle E \rangle = \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} + \frac{m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle }{2} \approx \frac{ \langle p_{x}^{2} \rangle }{2m} + \frac{ \omega^{2} m \hbar^{2} }{2 \cdot 4 \langle p_{x}^{2} \rangle }$.
Найдем $\langle p_{x}^{2} \rangle$, при котором $\langle E \rangle$ будет минимально
$\frac{d \langle E \rangle }{d \langle p_{x}^{2} \rangle } = \frac{1}{2m} - \frac{ \hbar^{2} m \omega^{2} }{8 \langle p_{x}^{2} \rangle } = 0$,
откуда $\langle p_{x}^{2} \rangle = \frac{ \hbar m \omega }{2}$ и $\langle E_{min} \rangle = \frac{ \hbar \omega }{4} + \frac{ \hbar \omega }{4} = \frac{ \hbar \omega }{2}$.
