Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15778
2023-06-05 
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Ширина ямы $l = 10^{-10} м$. С помощью соотношения неопределенностей оценить минимально возможную энергию электрона.
Решение:
Будем отсчитывать потенциальную энергию электрона от дна ямы. Тогда в пределах ямы $U = 0$. Полная энергия в этом случае $E = \frac{p^{2}}{2m_{e}}$, где $m_{e}$ - масса электрона. Для оценки минимальной энергии запишем соотношение неопределенностей в виде $\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx \frac{ \hbar}{2}$. Неопределенность координаты примем порядка ширины ямы: $\Delta x \approx l$. Тогда $\Delta p_{x} \approx \frac{ \hbar}{2l}$. С учетом $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4}$ $( \Delta p_{x} )^{2} = \langle (p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle $. Поскольку электрон не может покинуть область ямы, $\langle p_{x} \rangle = 0$. Отсюда $( \Delta p_{x} )^{2} = \langle p_{x} \rangle^{2} = p^{2}$. Получаем $p^{2} \approx \frac{ \hbar^{2} }{4l^{2}}$ и $E \approx \frac{ \hbar^{2} }{ 8l^{2}m_{e} } \approx 10^{-19} Дж = 1 эВ$.
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Ширина ямы $l = 10^{-10} м$. С помощью соотношения неопределенностей оценить минимально возможную энергию электрона.
Решение:
Будем отсчитывать потенциальную энергию электрона от дна ямы. Тогда в пределах ямы $U = 0$. Полная энергия в этом случае $E = \frac{p^{2}}{2m_{e}}$, где $m_{e}$ - масса электрона. Для оценки минимальной энергии запишем соотношение неопределенностей в виде $\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx \frac{ \hbar}{2}$. Неопределенность координаты примем порядка ширины ямы: $\Delta x \approx l$. Тогда $\Delta p_{x} \approx \frac{ \hbar}{2l}$. С учетом $\langle (x - \langle x \rangle )^{2} \rangle \cdot \langle ( p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle \geq \frac{ \hbar^{2} }{4}$ $( \Delta p_{x} )^{2} = \langle (p_{x} - \langle p_{x} \rangle )^{2} \rangle $. Поскольку электрон не может покинуть область ямы, $\langle p_{x} \rangle = 0$. Отсюда $( \Delta p_{x} )^{2} = \langle p_{x} \rangle^{2} = p^{2}$. Получаем $p^{2} \approx \frac{ \hbar^{2} }{4l^{2}}$ и $E \approx \frac{ \hbar^{2} }{ 8l^{2}m_{e} } \approx 10^{-19} Дж = 1 эВ$.
