Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15754
2023-06-01 
Получить Формулу для комптоновской длины волны, рассмотрев столкновение фотона со свободным электроном, происходящее по закону упругого удара, для которого выполняются законы сохранения энергии и импульса. Считать, что энергия фотона соизмерима с собственной энергией электрона. Найти условие применимости классической модели рассеяния света.
Решение:
Для вывода комптоновского смещения надо найти длину волны рассеянного фотона $\lambda^{ \prime}$ по заданной длине волны падающего фотона $\lambda$ и углу рассеяния $\theta$. Для этого используем законы сохранения энергии и импульса
$\epsilon_{ф} + \epsilon_{0e} = \epsilon_{ф}^{ \prime} + \epsilon_{e}$
$\vec{p}_{ф} = \vec{p}_{ф}^{ \prime } + \vec{p}_{e}$.
Из закона сохранения энергии выразим энергию электрона, возведем в квадрат обе части полученного равенства и учтем соотношения, связывающие энергию и импульс фотонов $p_{ф} = \frac{ \epsilon_{ф}}{c}, p_{ф}^{ \prime} = \frac{ \epsilon_{ф}^{ \prime}}{c}$, получим следующее уравнение
$\epsilon_{e}^{2} = ( \epsilon_{ф} - \epsilon_{ф}^{ \prime} + \epsilon_{0e})^{2} = \left ( p_{ ф} - p_{ф}^{ \prime} + \frac{ \epsilon_{0e}}{c} \right )^{2} c^{2}$.
Из закона сохранения импульса выразим импульс электрона, возведем в квадрат, полученное равенство умножим на $c^{2}$
$p_{e}^{2} c^{2} = (p_{ф}^{2} + p_{ф}^{ \prime 2} - 2p_{ф}p_{ф}^{ \prime} \cos \theta ) c^{2}$,
где $\theta$ - угол между импульсами налетающего и рассеянного фотонов.
Вычитая полученные равенства и учитывая формулу релятивистского инварианта $\epsilon_{e}^{2} - p_{e}^{2}c^{2} = m_{0e}^{2}c^{4}$, после несложных преобразований приходим к выражению
$\epsilon_{e}^{2} - p_{e}^{2}c^{2} = m_{0e}^{2}c^{4} = (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime})^{2} - 2 (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime}) \epsilon_{0e} + \epsilon_{0e}^{2}$
откуда $p_{ф} p_{ф} (1 - \cos \theta ) + \frac{ \epsilon_{0e} (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime} )}{c} = 0$.
Разрешая это уравнение относительно $p_{ф}^{ \prime}$, найдем импульс фотона после рассеяния:
$p_{ф}^{ \prime} = \frac{ p_{ф} m_{0e} c}{m_{0e} c + p_{ф} (1 - \cos \theta)} = \frac{p_{ф} m_{0e} c}{ m_{0e}c + 2 p_{ф} \frac{ \sin^{2} \theta }{2}}$.
Учитывая связь энергии и импульса фотона $\epsilon_{ф} = p_{ф} c$, найдем выражение для энергии рассеянного фотона:
$\epsilon_{ф}^{ \prime} = \frac{ \epsilon_{ф} m_{0e}c^{2}}{m_{0e} c^{2} + \epsilon_{ф} (1 - \cos \theta)} = \frac{ \epsilon_{ф}m_{0e}c^{2}}{m_{0e} c^{2} + 2 \epsilon_{ф} \frac{ \theta }{2}}$.
Далее учитывая $\epsilon_{ф} = \frac{hc}{ \lambda}$ и $\epsilon_{ф}^{ \prime} = \frac{hc}{ \lambda^{ \prime}}$, найдем формулу Комптона $\lambda^{ \prime} - \lambda = \lambda_{c} (1 - \cos \theta) = 2 \lambda_{c} \frac{ \sin^{2} \theta}{2}$,
где $\lambda_{c} = \frac{h}{m_{0e}c} = 2,4 \cdot 10^{-12} м$.
Из выражения для энергии рассеянного фотона видно, что при $\epsilon_{ф} \ll m_{0e} c^{2}$, энергии падающего и рассеянного фотонов равны $\epsilon_{ф} = \epsilon_{ф}^{ \prime}$, следовательно $\lambda^{ \prime} = \lambda$, и рассеяние света описывается классической моделью взаимодействия света с веществом.
Получить Формулу для комптоновской длины волны, рассмотрев столкновение фотона со свободным электроном, происходящее по закону упругого удара, для которого выполняются законы сохранения энергии и импульса. Считать, что энергия фотона соизмерима с собственной энергией электрона. Найти условие применимости классической модели рассеяния света.
Решение:
Для вывода комптоновского смещения надо найти длину волны рассеянного фотона $\lambda^{ \prime}$ по заданной длине волны падающего фотона $\lambda$ и углу рассеяния $\theta$. Для этого используем законы сохранения энергии и импульса
$\epsilon_{ф} + \epsilon_{0e} = \epsilon_{ф}^{ \prime} + \epsilon_{e}$
$\vec{p}_{ф} = \vec{p}_{ф}^{ \prime } + \vec{p}_{e}$.
Из закона сохранения энергии выразим энергию электрона, возведем в квадрат обе части полученного равенства и учтем соотношения, связывающие энергию и импульс фотонов $p_{ф} = \frac{ \epsilon_{ф}}{c}, p_{ф}^{ \prime} = \frac{ \epsilon_{ф}^{ \prime}}{c}$, получим следующее уравнение
$\epsilon_{e}^{2} = ( \epsilon_{ф} - \epsilon_{ф}^{ \prime} + \epsilon_{0e})^{2} = \left ( p_{ ф} - p_{ф}^{ \prime} + \frac{ \epsilon_{0e}}{c} \right )^{2} c^{2}$.
Из закона сохранения импульса выразим импульс электрона, возведем в квадрат, полученное равенство умножим на $c^{2}$
$p_{e}^{2} c^{2} = (p_{ф}^{2} + p_{ф}^{ \prime 2} - 2p_{ф}p_{ф}^{ \prime} \cos \theta ) c^{2}$,
где $\theta$ - угол между импульсами налетающего и рассеянного фотонов.
Вычитая полученные равенства и учитывая формулу релятивистского инварианта $\epsilon_{e}^{2} - p_{e}^{2}c^{2} = m_{0e}^{2}c^{4}$, после несложных преобразований приходим к выражению
$\epsilon_{e}^{2} - p_{e}^{2}c^{2} = m_{0e}^{2}c^{4} = (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime})^{2} - 2 (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime}) \epsilon_{0e} + \epsilon_{0e}^{2}$
откуда $p_{ф} p_{ф} (1 - \cos \theta ) + \frac{ \epsilon_{0e} (p_{ф} - p_{ф}^{ \prime} )}{c} = 0$.
Разрешая это уравнение относительно $p_{ф}^{ \prime}$, найдем импульс фотона после рассеяния:
$p_{ф}^{ \prime} = \frac{ p_{ф} m_{0e} c}{m_{0e} c + p_{ф} (1 - \cos \theta)} = \frac{p_{ф} m_{0e} c}{ m_{0e}c + 2 p_{ф} \frac{ \sin^{2} \theta }{2}}$.
Учитывая связь энергии и импульса фотона $\epsilon_{ф} = p_{ф} c$, найдем выражение для энергии рассеянного фотона:
$\epsilon_{ф}^{ \prime} = \frac{ \epsilon_{ф} m_{0e}c^{2}}{m_{0e} c^{2} + \epsilon_{ф} (1 - \cos \theta)} = \frac{ \epsilon_{ф}m_{0e}c^{2}}{m_{0e} c^{2} + 2 \epsilon_{ф} \frac{ \theta }{2}}$.
Далее учитывая $\epsilon_{ф} = \frac{hc}{ \lambda}$ и $\epsilon_{ф}^{ \prime} = \frac{hc}{ \lambda^{ \prime}}$, найдем формулу Комптона $\lambda^{ \prime} - \lambda = \lambda_{c} (1 - \cos \theta) = 2 \lambda_{c} \frac{ \sin^{2} \theta}{2}$,
где $\lambda_{c} = \frac{h}{m_{0e}c} = 2,4 \cdot 10^{-12} м$.
Из выражения для энергии рассеянного фотона видно, что при $\epsilon_{ф} \ll m_{0e} c^{2}$, энергии падающего и рассеянного фотонов равны $\epsilon_{ф} = \epsilon_{ф}^{ \prime}$, следовательно $\lambda^{ \prime} = \lambda$, и рассеяние света описывается классической моделью взаимодействия света с веществом.
