Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15746
2023-06-01 
При каком значении скорости электрона его импульс равен импульсу фотона с длиной волны $\lambda = 1 пм$?
Решение:
Прежде всего, следует решить вопрос об использовании при заданных условиях релятивистской или классической механики. Для этого следует оценить энергию электрона и сравнить ее с энергией покоя. Энергия фотона равна $\epsilon_{ф} = \frac{hc}{ \lambda} = 1,24 МэВ$. Энергия покоя электрона равна $\epsilon_{0e} = m_{0e}c^{2} = 0,5 МэВ$.
Так как по условию импульс электрона равен импульсу фотона $p_{e} = p_{ф} = \frac{h \nu}{c}$, то согласно релятивистской связи энергии покоя и импульса $\epsilon_{e}^{2} = p_{e}^{2}c^{2} + m_{0e}^{2}c^{4} \Rightarrow \epsilon_{e}^{2} = (h \nu )^{2} + m_{0e}^{2}c^{4}$
Так как $h \nu = \epsilon_{ф}$, то $\epsilon_{e}^{2} = \epsilon_{ф}^{2} + m_{0e}^{2}c^{4}$. Откуда
$\frac{ \epsilon_{e}}{ \epsilon_{0e}} = \sqrt{ 1 + \frac{ \epsilon_{ф}^{2} }{ \epsilon_{0e}^{2} } } = \sqrt{1 + \frac{1,24}{0,51}} \approx 2,7 > 1$.
При таком соотношении полной энергии и энергии покоя частицы необходимо пользоваться релятивистской механикой.
Используя выражение для полной энергии электрона, найдем скорость частицы из формулы Эйнштейна
$\epsilon_{e} = \frac{m_{0e}c^{2}}{ \sqrt{1 - \beta^{2}}} = \frac{ \epsilon_{0e} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$
Далее решаем уравнение:
$\frac{1}{1 - \beta^{2}} = 1 + \frac{ \epsilon_{ф}^{2}}{ \epsilon_{0e}^{2}} \Rightarrow \beta^{2} = \frac{1}{1 + \frac{ \epsilon_{0e}^{2} }{ \epsilon_{ф}^{2} }}$
Отношение $\frac{ \epsilon_{0e}^{2}}{ \epsilon_{ф}^{2}}$ можно преобразовать к виду
$\frac{ \epsilon_{0e}^{2}}{ \epsilon_{ф}^{2}} = \frac{m_{0e}^{2}c^{4} \lambda^{2}}{(hc)^{2}} = \frac{(m_{0e}c \lambda )^{2}}{h^{2}} = \frac{ \lambda^{2} }{ \lambda_{c}^{2} }$
где $\lambda_{c} = \frac{h}{m_{0e}c}$ - комптоновская длина волны, равная $2,4 \cdot 10^{-12} м$.
Таким образом, $\beta^{2} = \frac{1}{1 + \left ( \frac{ \lambda }{ \lambda_{c} } \right )^{2} }$
Откуда скорость электрона $v = \frac{c}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \lambda }{ \lambda_{c} } \right )^{2} }} = 2,8 \cdot 10^{8} м/с$.
При каком значении скорости электрона его импульс равен импульсу фотона с длиной волны $\lambda = 1 пм$?
Решение:
Прежде всего, следует решить вопрос об использовании при заданных условиях релятивистской или классической механики. Для этого следует оценить энергию электрона и сравнить ее с энергией покоя. Энергия фотона равна $\epsilon_{ф} = \frac{hc}{ \lambda} = 1,24 МэВ$. Энергия покоя электрона равна $\epsilon_{0e} = m_{0e}c^{2} = 0,5 МэВ$.
Так как по условию импульс электрона равен импульсу фотона $p_{e} = p_{ф} = \frac{h \nu}{c}$, то согласно релятивистской связи энергии покоя и импульса $\epsilon_{e}^{2} = p_{e}^{2}c^{2} + m_{0e}^{2}c^{4} \Rightarrow \epsilon_{e}^{2} = (h \nu )^{2} + m_{0e}^{2}c^{4}$
Так как $h \nu = \epsilon_{ф}$, то $\epsilon_{e}^{2} = \epsilon_{ф}^{2} + m_{0e}^{2}c^{4}$. Откуда
$\frac{ \epsilon_{e}}{ \epsilon_{0e}} = \sqrt{ 1 + \frac{ \epsilon_{ф}^{2} }{ \epsilon_{0e}^{2} } } = \sqrt{1 + \frac{1,24}{0,51}} \approx 2,7 > 1$.
При таком соотношении полной энергии и энергии покоя частицы необходимо пользоваться релятивистской механикой.
Используя выражение для полной энергии электрона, найдем скорость частицы из формулы Эйнштейна
$\epsilon_{e} = \frac{m_{0e}c^{2}}{ \sqrt{1 - \beta^{2}}} = \frac{ \epsilon_{0e} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$
Далее решаем уравнение:
$\frac{1}{1 - \beta^{2}} = 1 + \frac{ \epsilon_{ф}^{2}}{ \epsilon_{0e}^{2}} \Rightarrow \beta^{2} = \frac{1}{1 + \frac{ \epsilon_{0e}^{2} }{ \epsilon_{ф}^{2} }}$
Отношение $\frac{ \epsilon_{0e}^{2}}{ \epsilon_{ф}^{2}}$ можно преобразовать к виду
$\frac{ \epsilon_{0e}^{2}}{ \epsilon_{ф}^{2}} = \frac{m_{0e}^{2}c^{4} \lambda^{2}}{(hc)^{2}} = \frac{(m_{0e}c \lambda )^{2}}{h^{2}} = \frac{ \lambda^{2} }{ \lambda_{c}^{2} }$
где $\lambda_{c} = \frac{h}{m_{0e}c}$ - комптоновская длина волны, равная $2,4 \cdot 10^{-12} м$.
Таким образом, $\beta^{2} = \frac{1}{1 + \left ( \frac{ \lambda }{ \lambda_{c} } \right )^{2} }$
Откуда скорость электрона $v = \frac{c}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \lambda }{ \lambda_{c} } \right )^{2} }} = 2,8 \cdot 10^{8} м/с$.
