Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15744
2023-06-01 
Медный шарик диаметром $d = 1,2 см$ поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика $T_{0} = 300 К$. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в $n = 2,0$ раза.
Решение:
В данных условиях шарик теряет свою тепловую энергию $Q$ лишь за счет теплового излучения с поверхности. Предполагается, что теплопроводность шарика настолько велика и размер настолько мал, что температура во всех точках шарика успевает установиться приблизительно одинаковой и равной температуре его поверхности.
В таком случае, за бесконечно малый промежуток времени $dt$ в любой момент $t$ тепловая энергия шарика уменьшается на величину
$dQ = - C_{уд}m \cdot dT$ (1)
где $dT$ - изменение (уменьшение) температуры шарика; $C_{уд}$ - удельная теплоемкость материала; $m$ - масса шарика.
Это уменьшение тепловой энергии шарика определяется энергией теплового излучения $dW$, испускаемой за время $dt$. Если $\Phi_{e}$ - мощность теплового излучения, то за время $dt$ тело излучает энергию
$dW = \Phi_{e}dt$, (2)
где $\Phi_{e}$ - поток теплового излучения для конечной поверхности излучателя $S$
$\Phi_{e }^{0} = M_{e}^{0} \cdot S$. (3)
Здесь $M_{e}^{0}$ определяется по закону Стефана-Больцмана и $S = \pi d^{2}$ - площадь поверхности шарика.
Уравнение баланса энергии в рассматриваемом случае записывается в виде:
$dQ = dW$. (4)
Выражая массу шарика через его объем $V = \frac{ \pi d^{3}}{6}$ и плотность $\rho$, получим
$m = \frac{1}{6} \pi d^{3} \rho$ (5)
Из (1) найдем $dQ = - \frac{1}{6} \pi C_{уд} \rho d^{3}dT$. (6)
Из (2), с учетом (3) будем иметь
$dW = \pi d^{2} \sigma T^{4} dT$ (7)
Подставляя в (4) выражения (6) и (7), получим дифференциальное уравнение, связывающее температуру шарика $T$ и время $t$. Его можно представить в виде:
$\frac{dT}{T^{4}} = \frac{6 \sigma}{C_{уд} \rho d} dt$ (8)
Интегрирование этого уравнения в пределах от $T_{0}$ до $T_{1}$, где по условию задачи $\frac{T_{0}}{T_{1}} = n$, позволяет найти искомое время остывания $t$:
$t = \frac{C_{уд} \rho d}{18 \sigma T_{0}^{3}}(n^{3} - 3)$. (9)
Величины $\rho$ и $C_{уд}$ находятся из таблиц: для меди $\rho = 8,9 \cdot 10^{3} кг/м^{3}, C_{уд} = 395 Дж/(кг \cdot К)$. Остальные величины, входящие в (10), заданы: $d = 1,2 \cdot 10^{-2} м, T_{0} = 300 К, n = 2, \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{2})$.
Производя вычисления, найдем $t = 3$ часа.
Медный шарик диаметром $d = 1,2 см$ поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика $T_{0} = 300 К$. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в $n = 2,0$ раза.
Решение:
В данных условиях шарик теряет свою тепловую энергию $Q$ лишь за счет теплового излучения с поверхности. Предполагается, что теплопроводность шарика настолько велика и размер настолько мал, что температура во всех точках шарика успевает установиться приблизительно одинаковой и равной температуре его поверхности.
В таком случае, за бесконечно малый промежуток времени $dt$ в любой момент $t$ тепловая энергия шарика уменьшается на величину
$dQ = - C_{уд}m \cdot dT$ (1)
где $dT$ - изменение (уменьшение) температуры шарика; $C_{уд}$ - удельная теплоемкость материала; $m$ - масса шарика.
Это уменьшение тепловой энергии шарика определяется энергией теплового излучения $dW$, испускаемой за время $dt$. Если $\Phi_{e}$ - мощность теплового излучения, то за время $dt$ тело излучает энергию
$dW = \Phi_{e}dt$, (2)
где $\Phi_{e}$ - поток теплового излучения для конечной поверхности излучателя $S$
$\Phi_{e }^{0} = M_{e}^{0} \cdot S$. (3)
Здесь $M_{e}^{0}$ определяется по закону Стефана-Больцмана и $S = \pi d^{2}$ - площадь поверхности шарика.
Уравнение баланса энергии в рассматриваемом случае записывается в виде:
$dQ = dW$. (4)
Выражая массу шарика через его объем $V = \frac{ \pi d^{3}}{6}$ и плотность $\rho$, получим
$m = \frac{1}{6} \pi d^{3} \rho$ (5)
Из (1) найдем $dQ = - \frac{1}{6} \pi C_{уд} \rho d^{3}dT$. (6)
Из (2), с учетом (3) будем иметь
$dW = \pi d^{2} \sigma T^{4} dT$ (7)
Подставляя в (4) выражения (6) и (7), получим дифференциальное уравнение, связывающее температуру шарика $T$ и время $t$. Его можно представить в виде:
$\frac{dT}{T^{4}} = \frac{6 \sigma}{C_{уд} \rho d} dt$ (8)
Интегрирование этого уравнения в пределах от $T_{0}$ до $T_{1}$, где по условию задачи $\frac{T_{0}}{T_{1}} = n$, позволяет найти искомое время остывания $t$:
$t = \frac{C_{уд} \rho d}{18 \sigma T_{0}^{3}}(n^{3} - 3)$. (9)
Величины $\rho$ и $C_{уд}$ находятся из таблиц: для меди $\rho = 8,9 \cdot 10^{3} кг/м^{3}, C_{уд} = 395 Дж/(кг \cdot К)$. Остальные величины, входящие в (10), заданы: $d = 1,2 \cdot 10^{-2} м, T_{0} = 300 К, n = 2, \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{2})$.
Производя вычисления, найдем $t = 3$ часа.
