Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15740
2023-06-01 
Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током силой $i_{1} = 1 А$ до температуры $T_{1}= 1000 К$. При какой силе тока нить накаливается до температуры $T_{2} = 5000 К$? Коэффициенты излучения вольфрама и его удельные сопротивления, соответствующие температурам $T_{1}, T_{2}$, равны соответственно: $a_{T1} = 0,115; a_{T2} = 0,334; \rho_{1} = 25,7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м, \rho_{1} = 96,2 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$.
Решение:
Рассмотрим излучающее тело при установившемся тепловом режиме. Согласно закону сохранения энергии
$P = \Phi_{e}$,
где $P$ - мощность, потребляемая от источника; $\Phi_{e}$ - поток энергии, излучаемый нитью. Пусть $r$ - радиус нити; $L$ - длина нити; $i$ - сила тока в проводнике; $R$ - сопротивление проводника.
Тогда мощность, потребляемая нитью накаливания, на основании закона Джоуля - Ленца может быть представлена в виде
$P = i^{2}R = \frac{i^{2} \rho L}{ \pi r^{2}}$
Поток энергии теплового излучения, испускаемый нитью равен
$\Phi_{e} = M_{e} \cdot 2 \pi rL$
где $M_{e}$ - энергетическая светимость вольфрама, которая может быть выражена через коэффициент теплового излучения $a_{T}$ и энергетическую светимость абсолютно черного тела $M_{e}^{0}$
$M_{e} = a_{T} M_{e}^{0}$,
где по закону Стефана-Больцмана
$M_{e}^{0} = \sigma T^{4}$
Таким образом, поток энергии теплового излучения, испускаемый нитью, записывается в виде
$\Phi_{e} = a_{T} \cdot \sigma T^{4} \cdot 2 \pi rL$.
С учетом этого выражения получаем соотношения для двух значений температуры $T$
$i_{1}^{2} \rho (T_{1}) = a_{T1} \cdot \sigma T_{1}^{4} \cdot 2 \pi^{2} r^{3}$
$i_{2}^{2} \rho (T_{2}) = a_{T2} \cdot \sigma T_{2}^{4} \cdot 2 \pi^{2} r^{3}$
Разделив их почленно и выразив $i_{2}$, окончательно получим
$i_{2} = i_{1} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{2} \sqrt{ \frac{ \rho (T_{1})a_{T2} }{ \rho (T_{2}) a_{T1} } } = 7,9 А$.
Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током силой $i_{1} = 1 А$ до температуры $T_{1}= 1000 К$. При какой силе тока нить накаливается до температуры $T_{2} = 5000 К$? Коэффициенты излучения вольфрама и его удельные сопротивления, соответствующие температурам $T_{1}, T_{2}$, равны соответственно: $a_{T1} = 0,115; a_{T2} = 0,334; \rho_{1} = 25,7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м, \rho_{1} = 96,2 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$.
Решение:
Рассмотрим излучающее тело при установившемся тепловом режиме. Согласно закону сохранения энергии
$P = \Phi_{e}$,
где $P$ - мощность, потребляемая от источника; $\Phi_{e}$ - поток энергии, излучаемый нитью. Пусть $r$ - радиус нити; $L$ - длина нити; $i$ - сила тока в проводнике; $R$ - сопротивление проводника.
Тогда мощность, потребляемая нитью накаливания, на основании закона Джоуля - Ленца может быть представлена в виде
$P = i^{2}R = \frac{i^{2} \rho L}{ \pi r^{2}}$
Поток энергии теплового излучения, испускаемый нитью равен
$\Phi_{e} = M_{e} \cdot 2 \pi rL$
где $M_{e}$ - энергетическая светимость вольфрама, которая может быть выражена через коэффициент теплового излучения $a_{T}$ и энергетическую светимость абсолютно черного тела $M_{e}^{0}$
$M_{e} = a_{T} M_{e}^{0}$,
где по закону Стефана-Больцмана
$M_{e}^{0} = \sigma T^{4}$
Таким образом, поток энергии теплового излучения, испускаемый нитью, записывается в виде
$\Phi_{e} = a_{T} \cdot \sigma T^{4} \cdot 2 \pi rL$.
С учетом этого выражения получаем соотношения для двух значений температуры $T$
$i_{1}^{2} \rho (T_{1}) = a_{T1} \cdot \sigma T_{1}^{4} \cdot 2 \pi^{2} r^{3}$
$i_{2}^{2} \rho (T_{2}) = a_{T2} \cdot \sigma T_{2}^{4} \cdot 2 \pi^{2} r^{3}$
Разделив их почленно и выразив $i_{2}$, окончательно получим
$i_{2} = i_{1} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{2} \sqrt{ \frac{ \rho (T_{1})a_{T2} }{ \rho (T_{2}) a_{T1} } } = 7,9 А$.
