2014-05-31
Па ракете установлены два одинаковых двигателя. Конструкция двигателей такова, что при включении одного из них ракета движется вертикально вверх с постоянным ускорением $a_{1}= 5 м/с^{2}$, а при одновременной работе двух двигателей - с ускорением $a_{2} = 10 м/с^{2}$. Двигатели можно включать либо одновременно, либо последовательно. После включения каждый из них работает непрерывно в
течение промежутка времени $t_{1} = 1 мин$, а затем отключается. Как надо включать двигатели, чтобы ракета поднялась на максимальную высоту? Сопротивлением воздуха и изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь.
Решение:
Возможны два различных способа включения двигателей:
а) оба двигателя включаются одновременно;
б) второй двигатель включается в момент окончания работы первого двигателя.
Рассмотрим движение ракеты при двух способах включения двигателей. При этом условимся исследовать движение только до момента $t = t_{max}$ достижения ракетой наивысшей точки подъема. В этот момент скорость ракеты становится равной нулю.
а) Ракета движется вертикально вверх с ускорением $a_{2}$ на отрезке времени $[0,t_{1}]$ и с ускорением - g на отрезке времени $[t_{1},t_{max}]$. Скорость ракеты v в произвольный момент времени определяется уравнением
$ v(t) = \begin{cases}
a_{2}t & при t=[0,t_{1}],\\
a_{2}t_{1} - g (t-t_{1}) & при t=[t_{1},t_{max}],
\end{cases}$ (1)
а высота подъема
$h(t) = \begin{cases}
a_{2}t^{2}/2 & при t=[0,t_{1}],\\
a_{2}t_{1}^{2}/2 + a_{2}t_{1}(t-t_{1}) - g (t-t_{1})^{2}/2 & при t=[t_{1},t_{max}],
\end{cases}$ (2)
Время подъема $t_{max}$ находим из (1), используя условие $v(t_{max})=0$
$t_{max}=\frac{a_{2}+g}{g}t_{1}$.
Из формулы (2) получаем выражение для максимальной высоты подъема ракеты $h_{max}$:
$h_{max} = \frac{a_{2}t^{2}_{1}}{2} + a_{2}t_{1} (t_{max}-t_{1}) – g \frac{(t_{max}-t_{1})^{2}}{2}= \frac{a_{2}t^{2}_{1}}{2}+ \frac{a_{2}^{2}t_{1}^{2}}{2g}$. (3)
6) Ракета движется вертикально вверх с ускорением $a_{1}$, на отрезке времени $[0,2 t_{1}]$ и с ускорением -g на отрезке времени $[2t_{1},t_{max}^{\prime}]$. Скорость ракеты $v^{\prime}$ в произвольный момент времени t определяется уравнением
$ v^{\prime}(t) = \begin{cases}
a_{1}t & при t=[0,2t_{1}],\\
2a_{1}t_{1} - g (t- 2t_{1}) & при t=[2t_{1},t_{max}^{\prime}],
\end{cases}$ (4)
а высота подъема
$h^{\prime}(t) = \begin{cases}
a_{1}t^{2}/2 & при t=[0,2t_{1}],\\
-2a_{1}t_{1}^{2} + 2a_{1}t_{1}t - g (t-2t_{1})^{2}/2 & при t=[2t_{1},t^{\prime}_{max}],
\end{cases} $ (5)
Из равенств (4) и (5) можно по аналогии с выводом формулы (3) найти выражение для максимальной высоты подъема $h^{\prime}_{max}$:
$h^{\prime}_{max} = 2a_{1}t^{2}_{1} + 2 a_{1}^{2}t^{2}_{1} /g$. (6)
Подставляя данные из условия задачи в выражения (3) и (6), получаем $h_{max} \approx 36 км, h^{\prime}_{max} \approx 54 км$, т. е. при последовательной работе двигателей ракета поднимается на большую высоту.