2021-04-14
Однородный тонкий упругий стержень вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов, с постоянной угловой скоростью. В некоторый момент времени стержень срывается с оси. Во сколько раз изменится при этом его относительное удлинение?
Решение:
Найдем распределение упругих напряжений $\sigma (r) = \frac{T(r)}{S}$ в равномерно вращающемся с угловой скоростью и стержне длиной $L$ (рис.). Под действием упругой силы $T(r)$ центр масс С части бруска массой $m = \rho S (L - r)$, где $\rho$ - плотность материала стержня, равномерно движется по окружности радиусом $R_{C} = r + \frac{L- r}{2} = \frac{r + L}{2}$. Ускорение центра масс направлено к оси вращения и равно по величине $a_{C} = \omega^{2}R_{C}$. По теореме о движении центра масс,
$m \vec{a}_{C} = \vec{T}(t)$.
Переходя к проекциям силы и ускорения на радиальное направление и учитывая явные выражения для $m$ и $R_{C}$, получаем
$T(r) = \rho S \omega^{2} \frac{L^{2} - r^{2} }{2}$.
Элементарное удлинение $\delta ( \Delta r)$ произвольного первоначально недеформированного элемента длиной $\Delta r$ найдем по закону Гука
$\frac{ \delta ( \Delta r) }{ \Delta r} = \frac{1}{E} \sigma (r) = \frac{T(r)}{ES}$.
Полное удлинение получим суммированием элементарных удлинений:
$\Delta l = \sum \delta ( \Delta r) = \frac{ \rho }{2E} \omega^{2} \int_{0}^{L} (L^{2} - r^{2})dr = \frac{ \rho \omega^{2}L^{3} }{3E}$.
Относительное удлинение будет пропорционально квадрату угловой скорости и квадрату длины стержня:
$\frac{ \Delta l}{L} = \frac{ \rho \omega^{2}L^{2} }{3E}$.
После отрыва стержня от оси его центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью $v_{пер} = \frac{ \omega L}{2}$, а в системе центра масс стержень будет равномерно вращаться с угловой скоростью $\Omega$. Для нахождения этой скорости обратимся к закону сложения скоростей: в лабораторной системе отсчета скорость $v_{O}$ точки О стержня в момент отрыва равна нулю, а в системе центра масс ее скорость равна $u_{O} = \frac{ \Omega L}{2}$. По закону сложения скоростей,
$\vec{v}_{O} = \vec{v}_{пер} + \vec{u}_{O} = 0$,
откуда
$\Omega \frac{L}{2} = \omega \frac{L}{2}$, или $\Omega = \omega$.
После отрыва оба конца стержня становятся свободными, растяжение стержня происходит относительно серединного сечения. В этом случае относительное удлинение каждой половины стержня, а следовательно, и всего стержня, уменьшится в четыре раза, так как в формуле для относительного удлинения следует сделать замену $L \rightarrow \frac{L}{2}$, а угловая скорость остается неизменной.