2021-04-14
Мальчик стреляет из рогатки. Он медленно растягивает резиновый жгут так, что его длина $L$ увеличивается вдвое, доводя усилие до $F = 10 Н$. Определите начальную скорость $v_{0}$ камешка массой $m = 10 г$, если длина растянутого резинового жгута $2L = 20 см$, масса жгута $M = 30 г$.
Решение:
При растяжении резинового жгута упругая сила растет пропорционально удлинению жгута и изменяется от нуля до $F$. Работа этой силы на перемещении $L$ оказывается запасенной в виде потенциальной энергии пружины
$W_{п} = \frac{FL}{2}$.
При выстреле эта энергия переходит в кинетическую энергию камешка
$W_{к1} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$
и кинетическую энергию резинового жгута $W_{к2}$ (его масса не является пренебрежимо малой, а, наоборот, превышает массу камешка). Для определения кинетической энергии жгута заметим, что смещения сечений жгута, как и силы упругости, тоже распределены по линейному закону, следовательно, по этому же закону будут распределены и скорости $v(x)$ элементарных масс жгута:
$v(x) = \frac{x}{L}v_{0}$
(здесь координата $x$ отсчитывается от рогатки). Тогда кинетическая энергия двух одинаковых участков жгута, имеющих координаты от $x$ до $x + dx$, равна
$\Delta W_{к2} = 2 \frac{1}{2} \frac{Mdx}{2L} \left ( \frac{x}{L}v_{0} \right )^{2}$.
Суммируя эти величины по всей длине жгута, получаем
$W_{к2} = \int_{0}^{L} \frac{M}{2L} \left ( \frac{x}{L} v_{0} \right )^{2} dx = \frac{Mv_{0}^{2} }{6}$.
По закону сохранения энергии,
$W_{п} = W_{к1} + W_{к2}$,
или
$\frac{FL}{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{Mv_{0}^{2} }{6}$.
Отсюда находим начальную скорость камешка:
$v_{0} = \sqrt{ \frac{FL}{m + \frac{M}{3} }} \approx 7 м/с$