2021-04-14
Одна из опор линии электропередачи в горах на $H$ выше другой (рис.). Длина однородного провода между опорами $L$, его масса $M$. На сколько натяжение провода вблизи одной опоры больше, чем вблизи другой? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Рассмотрим произвольный элементарный участок провода длиной $\Delta l$ и массой $\Delta m = \frac{M \Delta l}{L}$. К нему приложены силы натяжения $\vec{T}(y)$ и $\vec{T}(y + \Delta y)$ и сила тяжести $\Delta m \vec{g}$ (рис.). Под действием этих сил выделенный участок покоится, следовательно,
$\vec{T}(y) + \vec{T}(y + \Delta y) + \Delta m \vec{g} = 0$.
Перейдем к проекциям сил на касательное к проводу направление:
$- T(y) + T(y + \Delta y) - \Delta m g \sin \alpha = 0$,
откуда с учетом явного выражения для $\Delta m$ получаем
$\Delta T = T( y + \Delta y) - T(y) = \frac{M}{L} g \Delta l \sin \alpha$.
Из геометрии следует
$\Delta l \sin \alpha = \Delta y$,
поэтому
$\Delta = \frac{M}{L} g \Delta y$,
т.е. приращение величины силы натяжения провода на любом его элементарном участке пропорционально проекции длины этого участка на вертикальную ось. Суммируя подобные соотношения вдоль всей длины провода между опорами, приходим к ответу на вопрос задачи:
$T_{A} - T_{B} = \frac{M}{L} g H$,
Заметим, что для случая, когда опоры находятся вблизи одной вертикали, результат может быть получен без рассмотрения задачи «в малом». Действительно, в этом случае разность сил натяжения провода на уровнях А и В уравновешивает силу тяжести участка провода, находящегося выше горизонтали, проходящей через точку В.