2021-04-05
В колебательном контуре (рис.), включающим в себя конденсатор емкостью $C$ и две катушки самоиндукции с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$, происходят гармонические колебания. Катушка индуктивностью $L_{2}$ с полным числом витков $N$ и площадью одного витка S расположена в однородном и стационарном магнитном поле с индукцией $B_{0}$, перпендикулярной плоскости витков. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения $U_{0}$, магнитное поле выключают. Время убывания магнитного поля до нуля много меньше периода колебаний в контуре. Пренебрегая омическим сопротивлением катушек и подводящих проводов, определите величину максимального тока в контуре после выключения магнитного поля.
Решение:
Рассмотрим произвольный момент времени t в процессе убывания магнитного поля. Обозначим суммарный магнитный поток через обе катушки через $\Phi(t)$. Закон Ома для колебательного контура будет иметь вид
$- \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = U_{0}$.
Поскольку время убывания магнитного поля мало, можно считать, что
$\Delta \Phi (t) = 0$.
А это означает сохранение магнитного потока за время $\tau$ выключения магнитного поля:
$\Phi ( \tau ) = \Phi (0)$.
Пусть сразу после выключения поля в контуре течет ток $I_{0}$. Тогда последнее соотношение можно записать в виде
$(L_{1} + L_{2})I_{0} = B_{0}SN$.
Итак, мы имеем такие начальные условия в контуре сразу после выключения поля: ток в контуре равен
$I_{0} = \frac{B_{0}SN }{ L_{1} + L_{2}}$.
а напряжение на конденсаторе равно $U_{0}$ (рис.). Направление тока $I_{0}$ зависит от направления индукции магнитного поля.
В те моменты, когда ток в контуре достигает максимального значения $I_{m}$, напряжение на конденсаторе равно нулю. Пусть это будет вторым состоянием контура. Тогда по закону сохранения энергии можно записать
$\frac{(L_{1} + L_{2} ) I_{0}^{2}}{2} + \frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{(L_{1} + L_{2} ) I_{m}^{2}}{2}$.
Отсюда находим
$I_{m} = I_{0} \sqrt{1 + \frac{CU_{0}^{2} }{I_{0}^{2}(L_{1} + L_{2} ) }} = \frac{B_{0}SN }{L_{1} + L_{2} } \sqrt{1 + \frac{C(L_{1} + L_{2} )U_{0}^{2} }{(BSN)^{2} } }$.