2021-04-05
Микроскоп имеет, объектив $Л_{1}$ с фокусным расстоянием $F_{1} = 1 см$ и окуляр $Л_{2}$ с фокусным расстоянием $F_{2} = 3 см$, расстояние между ними $L = 20 см$ (рис.). На каком расстоянии от объектива должен находиться предмет, чтобы окончательное изображение получилось на расстоянии наилучшего зрения $d_{0} = 25 см$ от глаза (глаз расположен вплотную к окуляру)? Какое при этом получится линейное увеличение предмета?
Решение:
При наблюдении в микроскоп предмет А располагается перед объективом на расстоянии $d_{1} > F_{1}$ (рис.). После объектива получается увеличенное перевернутое изображение предмета $A^{ \prime}$, которое расположено от окуляра на расстоянии, меньшем его фокусного расстояния. Окуляр является обычной лупой, и изображение в нем мнимое увеличенное и прямое.
Решение задачи будем вести с конца. Мы знаем, что окончательное изображение предмета $A^{ \prime \prime}$ должно получиться перед окуляром на расстоянии $d_{0}$. Поэтому, используя формулу линзы, мы можем найти положение промежуточного изображения $A^{ \prime }$ перед окуляром - на рисунке это расстояние обозначено через $d_{2}$:
$\frac{1}{d_{2} } - \frac{1}{d_{0} } = \frac{1}{F_{2} }$, откуда $d_{2} = \frac{d_{0}F_{2} }{d_{0} + F_{2} }$.
Найденное положение предмета $A^{ \prime}$ для линзы $Л_{2}$ является изображением предмета A в линзе $Л_{1}$. Опять используем формулу линзы (для линзы $Л_{1}$), имея в виду, что искомое расстояние от предмета А до линзы равно $d_{1}$, а расстояние от линзы до изображения $A^{ \prime }$ равно $L - d_{2}$:
$\frac{1}{d_{1} } + \frac{1}{L - d_{2} } = \frac{1}{F_{1} }$.
Отсюда получаем искомое расстояние:
$d_{1} = \frac{(L - d_{2} )F_{1}}{L - d_{2} - F_{!} } = \frac{(Ld_{0} + F_{2} (L - d_{0} ))F_{1}}{Ld_{0} + F_{2}(L - d_{0} ) - F_{1}(d_{0} + F_{2}) } = 1,06 см$.
Линейное увеличение микроскопа, очевидно, равно произведению увеличений каждой из линз:
$\Gamma = \Gamma_{1} \Gamma_{2}$.
Увеличение объектива равно
$\Gamma_{1} = \frac{L - d_{2}}{d_{1} } = \frac{Ld_{0} + F_{2} (L - d_{0}) - F_{1} (d_{0} + F_{2})}{F_{1} (d_{0} + F_{2} ) }$.
Увеличение окуляра равно
$\Gamma_{2} = \frac{d_{0}}{d_{2} } = \frac{d_{0} + F_{2}}{F_{2} }$.
Общее увеличение микроскопа равно
$\Gamma = \frac{Ld_{0} + F_{2} (L - d_{0}) - F_{1} (d_{0} + F_{2})}{F_{1}F_{2}} = 152$.