2021-02-26
Определить наименьшее возможное давление $\nu = 1$ моля идеального газа в процессе, происходящем по закону $T = T_{0} + \alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $\alpha$ - положительные постоянные, $V$ - объем газа.
Решение:
Получим уравнение процесса, происходящего с газом в переменных Р - V, для чего решим систему уравнений:
$\begin{cases} T = T_{0} + \alpha V^{2} \\ PV = RT \end{cases}$
и избавимся от температуры. Тогда зависимость давления от объема:
$P = \frac{RT_{0} }{V} + R \alpha V$.
Для нахождения наименьшего давления надо исследовать эту функцию на экстремум. Взяв производную от давления по объему $\left ( \frac{dP}{dV} = 0 \right )$ и приравнивая ее к нулю, получим
$P^{ \prime } = - \frac{RT_{0} }{V^{2} } + R \alpha = 0$.
Т.е. газ достигает наименьшего давления при значении объема, равном:
$V = \sqrt{ \frac{T_{0} }{ \alpha }}$.
Подставляя это значение объема в уравнение процесса, полученное в Р - V переменных, получим минимальное давление $P_{ min}$:
$P_{min} = 2R \sqrt{ \alpha T_{0} }$.