2021-02-20
Осциллятор массы $m$ движется по закону $x = \alpha \sin \omega t$ под действием вынуждающей силы $F_{ \tau } = F_{0} \cos \omega t$. Найти коэффициент затухания $\beta$ осциллятора.
Решение:
Дифференциальные уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \omega_{0}^{2}x + 2 \beta \frac{dx}{dt} = \frac{F_{0} }{m} \cos \omega t$. (1)
Вычислим $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{d^{2}x }{dt^{2} }$ и подставим полученные выражения в (1)
$x(t) = \alpha \sin \omega t$
$\frac{dx}{dt} = \alpha \omega \cos \omega t$
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - \alpha \omega^{2} \sin \omega t$
$- \alpha \omega^{2} \sin \omega t + \omega_{0}^{2} \cdot \alpha \sin \omega t + 2 \beta \cdot \alpha \omega \cos \omega t = \frac{F_{0} }{m} \cos \omega t$ (2)
Для того, чтобы уравнение (2) представляло собой тождество, необходимо равенство коэффициентов при и в левой и правой частях (2):
$\begin{cases} - \alpha \omega^{2} + \alpha \omega_{0}^{2} = 0 (3) \\ 2 \beta \alpha \omega = \frac{F_{0} }{m} (4) \end{cases}$
Из (4) находим $\beta$:
$\beta = \frac{F_{0} }{ 2 m \alpha \omega }$.