2021-02-20
Тело массой $m = 10 г$ совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой $A_{max} = 7 см$, начальной фазой $\phi_{0} = 0$ и коэффициентом затухания $\beta = 1,6 с^{-1}$. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила $F$, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид $x = 5 \sin \left (10 \pi t - \frac{3 \pi}{4} \right )$ см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.
Решение:
Уравнение затухающих колебаний имеет вид:
$x_{x}(t) = A_{max} e^{ - \beta t} \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0} )$
В условиях действия вынуждающей периодической силы $F(t) = F_{0} \sin \omega_{1}t$ после затухания собственных колебаний наблюдаются вынужденные колебания:
$x_{вын} = A_{вын} \sin ( \omega_{1}t + \Psi )$.
где $\omega_{0}$ - частота собственных колебаний, $\omega_{1}$ - частота вынуждающей силы.
Анализируя исходные данные, видим что:
$A_{вын} = 5 см = 5 \cdot 10^{-2} с$;
$\omega_{1} = 10 \pi с^{-1}; \Psi = - \frac{3 \pi }{4}$.
$A_{вын}$ и $\Psi$ определяются формулами:
$A_{вын} = \frac{F_{0} }{m \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega_{1}^{2} } }$; (1)
$tg \Psi = - \frac{2 \beta \omega_{1} }{ \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2} }$; (2)
Из (1) и (2) найдем $\omega_{0}$ и $F_{0}$:
$\frac{2 \beta \omega_{1} }{ tg \Psi } = \omega_{1}^{2} - \omega_{0}^{2} \Rightarrow \omega_{0}^{2} = \omega_{1}^{2} - \frac{2 \beta \omega_{1} }{tg \Psi }; \omega_{0} = \sqrt{ \omega_{1}^{2} - \frac{2 \beta \omega{1} }{tg \Psi } }$
$\omega_{0} = \sqrt{ (10 \pi )^{2} - \frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10 \pi }{1} } = 32,977 \approx 10,5 \pi с^{-1}$.
$F_{0} = A_{вын} m \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega_{1}^{2} }$;
$F_{0} = 5 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-2} \sqrt{ (10,5 \pi )^{2} - (10 \pi )^{2} + 4 \cdot (1,6)^{2} \cdot (10 \pi )^{2} } = 7,13 \cdot 10^{-2} Н = 71,3 мН$.
Имеем: $F(t) = F_{0} \sin \omega_{1}t = 71,3 \sin 10 \pi t мН$.
$x_{c}(t) = A_{max} e^{- \beta t} \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0} ) = 7 \cdot e^{-1,6t} \sin 10,5 \pi t см$.