2021-02-20
Тело совершает крутильные колебания по закону $\phi = \phi_{0}e^{- \beta t} \cos \omega t$. Найти: а) угловую скорость $\dot{ \phi }$ и угловое ускорение тела $\ddot{ \phi}$ в момент $t = 0$; б) момент времени, когда угловая скорость максимальна.
Решение:
$\phi = \phi_{0} e^{- \beta t} \cos \omega t$
$\dot{ \phi } = \frac{d \phi }{dt} = \phi_{0} (- e^{- \beta t} \omega \sin \omega t - \beta e^{- \beta t} \cos \omega t ) = - \phi_{0} e^{ - \beta t} ( \omega \sin \omega t + \beta \cos \omega t)$,
При $t = 0 \: \phi = \phi_{0} \: \dot{ \phi} = - \phi_{0} r^{0} ( \omega \sin 0 + \beta \cos 0) = - \phi_{0} \beta$
Угловая скорость $\dot{ \phi }$ будет максимальна, когда угловое ускорение равно нулю $\ddot{ \phi } = 0$:
$\ddot{ \phi } = \frac{d \dot{ \phi } }{dt} = - \phi_{0} ( (- \beta e^{ - \beta t} ) ( \omega \sin \omega t + \beta \cos \omega t ) + e^{ - \beta t} ( \omega^{2} \cos \omega t - \beta \omega \sin \omega t ) ) = \phi_{0} e^{ - \beta t} ( \beta \omega \sin \omega t + \beta^{2} \cos \omega t + \beta \omega \sin \omega t - \omega^{2} \cos \omega t ) = \phi_{0} e^{ - \beta t} ( 2 \beta \omega \sin \omega t + ( \beta^{2} - \omega^{2} ) \cos \omega t ) = 0$
$\phi_{0} \neq 0;e^{ - \beta t} \neq 0 \Rightarrow 2 \beta \omega \sin \omega t = ( \omega^{2} - \beta^{2} ) \cos \omega t$
$tg \omega t = \frac{ \omega^{2} - \beta^{2} }{2 \omega \beta }$
$t_{max} = \frac{1}{ \omega } \left ( arctg \frac{ \omega^{2} - \beta^{2} }{2 \omega \beta } + \pi n \right ); n = 1,2,2 \cdots$