2021-02-20
Жесткость пружин рессоры вагона $k = 481 кН/м$. Масса вагона с грузом $m = 64 т$. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости $v$ вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса $l = 12,8 м$?
Решение:
Определим собственную частоту колебаний вагона $\omega_{0}$. При малых колебаниях вагона в вертикальной плоскости на него действует квазиупругая возвращающая сила $F_{упр} = 4F_{упр0}$, где $F_{упр} = - k \Delta x$ - сила упругости каждой из рессор.
$\Delta x$ - смещение относительно положения равновесия.
Получаем: $F_{упр} = - 4k \Delta x$;
Дифференциальное уравенение свободных колебаний: $\frac{d^{2} \Delta x }{dt^{2} } = \frac{4 k \Delta x}{m} = 0$
Так как $\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \omega_{0}^{2}x = 0$, то $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4k}{m} }$; (1)
Сильное раскачивание вагона вызвано явлением резонанса: $\omega_{вын} = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} }$
Считая колебания незатухающими ($\beta = 0$) имеем: $\omega_{вын} = \omega_{0}$.
$\omega_{вын}$ - частота вынуждающей силы - частота ударов о стыки рельсов:
$\omega_{вын} = \frac{2 \pi}{T_{вын} } = \frac{2 \pi }{ \frac{l}{v} } = \frac{2 \pi v}{l}$. (2)
Из (1) и (2) находим $v$:
$\omega_{вын} = \omega_{0}$
$\frac{2 \pi v}{l} = 2 \sqrt{ \frac{k}{m} } \Rightarrow v = \frac{l}{ \pi } \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
$v = \frac{12,8}{3,14} \sqrt{ \frac{4,81 \cdot 10^{5} }{6,4 \cdot 10^{4} } } = 11,169 м/с$.