2021-02-20
Начальная амплитуда колебаний математического маятника $A_{1} = 20 см$, амплитуда после 10 полных колебания равна $A_{10} = 1 см$. Определить логарифмический декремент $\delta$ затухания и коэффициент затухания $\beta$, если период колебания $T = 5 с$. Записать уравнение колебаний.
Решение:
$x = A_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t$
$A = A_{0} e^{ - \beta t}$
$A_{1} = A_{0} e^{ - \beta \cdot 0} = A_{0}$
$A_{10} = A_{0} e^{ - \beta \cdot 10T}$
$\frac{A_{1} }{A_{10} } = \frac{A_{0} }{A_{0}e^{ - \beta \cdot 10T } } = e^{10 \beta T}$
$10 \beta T = ln \frac{A_{1} }{A_{10} } \Rightarrow \beta = \frac{1}{10T} ln \frac{A_{1} }{A_{10} }$
$\lambda \beta T = \frac{1}{10} ln \frac{A_{1} }{A_{10} }$
$\beta = \frac{1}{50} ln 20 \cdot \frac{1}{50} 2,936 \approx 0,06$
$\lambda = \frac{1}{10} ln 20 = \frac{1}{10} 2,996 \approx 0,3 с$
$x(t) = A_{0}e^{ - \beta t} \cos \omega t$
$\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T}, \omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2} } = \sqrt{ \frac{4 \pi^{2} }{T^{2} } - \beta^{2} }$
$\omega = \sqrt{ \frac{39,48}{25} - 0,0036 } = 1,26$
$x(t) = 20 e^{ - 0,06t} \cos 1,26t см$.