2021-02-20
Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. Известны радиус блока $R$, его момент инерции $I$ относительно оси вращения, масса тела $m$ и жесткость пружины $k$. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.
Решение:
Найдем $x_{0}$ - величину деформации пружины в состоянии равновесия системы:
$\begin{cases} T_{1} = mg \\ T_{2} = T_{1} \\ T_{2} = F_{упр} \end{cases}$
$F_{упр } = kx_{0} \Rightarrow x_{0} = \frac{mg}{k}$
Отклоним груз от положения равновесия на малое расстояние $x$ вниз. Сила упругости станет равной $| \vec{F}_{упр} | = k(x_{0} + x )$.
Запишем уравнения движения системы:
$\begin{cases} mg - T_{1} = ma (1) \\ T_{1}R - T_{2}R = I \epsilon; \epsilon = \frac{a}{R} (2) \\ T_{2} = F_{упр} (3) \end{cases}$
где $a$ - ускорение груза.
Подставив (3) в (2) и затем складывая (1) и (2), получим:
$\begin{cases} mg - T_{1} = ma \\ T_{1} - k(x_{0} + x ) = a \frac{I}{R^{2} } \end{cases}$
$mg - kx_{0} - kx = ma + a \frac{I}{R^{2} }$;
$mg - k \frac{mg}{k} - kx = a \left ( m + \frac{I}{R^{2} } \right )$;
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } = a = - \frac{kx}{m + \frac{I}{R^{2} } }; \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \frac{k}{m + \frac{I}{R^{2} } } x = 0$ (4)
(4) - уравнение гармонических колебаний вида:
$\ddot{x} + \omega^{2}x = 0$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m + \frac{I}{R^{2} } } }$ - частота колебаний.