2021-02-20
В в воде плавает льдина с площадью основания $S = 1 м^{2}$ и высотой $H = 0,5 м$. Льдину погружают в воду на небольшую глубину $x_{0} = 5 см$ и отпускают. Определить период ее колебаний. Плотность льда $\rho_{л} = 900 кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000 кг/м^{3}$. Силой сопротивления воды пренебречь.
Решение:
Выпишем силы, действующие на льдину (в проекции на ось Х):
Сила тяжести: $F_{т} = mg = \rho_{1} Vg = \rho_{1} SHg$, где $\rho_{1}$ - плотность льда.
Выталкивающая сила: $F_{выт} = - \rho_{0} gV^{ \prime} = - \rho_{0}gSx$, где $\rho_{1}$ - плотность воды
Второй закон Ньютона для льдины имеет вид:
$F = ma$
$\rho_{1}SHg - \rho_{0}gSx = m \frac{d^{2}x }{dt^{2} }$;
$\rho_{1}SH \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \rho_{0}gSx = \rho_{1}SHg$;
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \frac{ \rho_{0}g }{ \rho_{1}H }x = g$; (1)
Уравнение (1) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с круговой частотой:
$\omega^{2} = \frac{ \rho_{0}g }{ \rho_{1}H }$;
$\omega = \sqrt{ \frac{ \rho_{0}g }{ \rho_{1}H } }$;
Период колебаний равен: $T = \frac{2 \pi }{ \omega }$
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \rho_{1}H }{ \rho_{0}g } }$;
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{950 \cdot 0,5}{1000 \cdot 9,81} } \approx 1,38 с$.