2021-02-20
Из тонкого однородного диска радиусом $R = 20 см$ вырезана часть, имеющая вид круга радиусом $r = 10 см$ так, как это показано на рис. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период $T$ колебания такого маятника.
Решение:
Будем рассматривать маятник как систему двух грузов: диска радиусом $R$ и массой $M$ и диска радиусом $r$ с отрицательной массой - $m$.
Пусть $\sigma$ - масса единицы площади маятника, тогда:
$M = \sigma S_{R} = \pi \sigma R^{2}; m = \sigma S_{r} = \pi \sigma r^{2}$;
Момент инерции маятника $I = I_{m} + I_{M}$ (относительно оси О).
По теореме Штейнера:
$I_{M} = \frac{1}{2}MR^{2}+ MR^{2} = \frac{3}{2}MR^{2}$;
$I_{m} = \frac{1}{2} (-m)r^{2} + (-m)r^{2} = - \frac{3}{2} mr^{2}$;
$I = \frac{3}{2} MR^{2} - \frac{3}{2} mr^{2} = \frac{3}{2} \pi \sigma (R^{4} - r^{4} )$.
Найдем $x_{c}$ - расстояние от центра масс маятника до оси О из условия равенства моментов сил тяжести грузов относительно центра масс.
$-Mg(x_{x} - R ) - (-m)g(x_{c} - R ) = 0$
$- Mx_{c} + m x_{c} + MR - mr = 0 \Rightarrow x_{c} = \frac{MR - mr}{M - m}$;
$x_{c} = \frac{ \sigma \pi R^{3} - \sigma \pi r^{3} }{ \sigma \pi R^{2} - \sigma \pi r^{2} } = \frac{R^{3} - r^{3} }{R^{2} - r^{2} }$
Находим период колебаний физического маятника
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{(M + (-m) )gx_{c} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \frac{3}{2} \pi \sigma (R^{4} - r^{4} )(R^{2} - r^{2} ) }{ \sigma \pi (R^{2} - r^{2} )g(R^{3} -r^{3} ) } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{3(R^{4} - r^{4} ) }{2g(R^{3} - r^{3} )} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{3(R^{2} + r^{2} )(R + r)}{2g(R^{2} + Rr + r^{2} ) } }$.
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{3(0,04 + 0,01)(0,2 + 0,1)}{ 2 \cdot 9,81 (0,04 + 0,02 + 0,01) } } \approx 1,137 с$.