2021-02-20
Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его верхний конец. Найти период колебания. Трения нет.
Решение:
При отклонении стержня на угол $\phi$ от вертикали возникает возвращающий момент, равный:
$M_{возвр} = - mg \sin \phi \cdot \frac{l}{2}$
Запишем уравнение вращательного движения для стержня: $M = I \beta$ где $M$ - сумма моментов всех сил, действующих на стержень ($M = M_{возвр} $), $\beta$ - угловое ускорение ($ \beta = \ddot{ \phi}$), $I$ - момент инерции стержня, относительно точки подвеса ($I = \frac{1}{3} ml^{2} $)
$M = I \beta$
$- mg \sin \phi \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^{2} }{3} \ddot{ \phi }$
$\ddot{ \phi } + \frac{3g}{2l} \sin \phi = 0$
При малых $\phi$ имеет место равенство $\sin \phi = \phi \Rightarrow$
$\ddot{ \phi } + \frac{3g}{2l} \phi = 0$
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:
$\ddot{ \phi } + \omega^{2} \phi = 0 \Rightarrow$
$\omega^{2} = \frac{3g}{2l}; \omega = \sqrt{ \frac{3g}{2l} }$
$T = \frac{2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2l}{3g} }$