2021-02-20
Точка движется в плоскости $XY$ по закону $x = A \sin \omega t, y = B \cos \omega t$, где $t, A, \omega$ - постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки $y(x)$ б) ускорение $\vec{a}$ точки в зависимости от ее радиус-вектора $r$ относительно начала координат.
Решение:
Получим зависимость $y(x)$:
$\left ( \frac{x}{A} \right )^{2} + \left ( \frac{y}{B} \right )^{2} = \sin^{2} \omega t + \cos^{2} \omega t = 1$
$\frac{x^{2} }{A^{2} } + \frac{y^{2} }{B^{2} } = 1$ - траектория точки представляет собой эллипс
Радиус-вектор точки:
$\vec{r}(t) = x \vec{i} + y \vec{j} = A \sin \omega t \cdot \vec{i} + B \cos \omega t \cdot \vec{j}$
Найдем законы изменения скорости и ускорения точки:
$\vec{v}(t) = \frac{d \vec{r}(t) }{dt} = A \omega \cos \omega t \vec{i} - B \omega \sin \omega t \vec{j}$;
$\vec{a}(t) = \frac{d \vec{v}(t) }{dt} = - A \omega^{2} \sin \omega t \vec{i} - B \omega^{2} \cos \omega t \vec{j}$;
Найдем зависимость $\vec{a}( \vec{r})$:
$\vec{a} = - A \omega^{2} \sin \omega t \vec{i} - B \omega^{2} \cos \omega t \vec{j} = - \omega^{2} (A \sin \omega t \vec{i} + B \cos \omega t \vec{j} ) = - \omega^{2} \cdot \vec{r}$