2021-02-20
При сложении двух гармонических колебаний одного направления уравнение результирующего колебания точки имеет вид $x = a \cos (2,1t) \cos (50,0t)$, где $t$ - время в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений.
Решение:
По теории
$x_{1} = a \cos ( \omega_{1}t + \alpha_{1} )$,
$x_{2} = a \cos ( \omega_{2}t + \alpha_{2} )$
$x(t) = x_{1} + x_{2} = a ( \cos ( \omega_{1}t + \alpha_{1} ) + \cos ( \omega_{2}t + \alpha_{2} ) ) = 2a \cos \left ( \frac{ \omega_{1} + \omega_{2} }{2}t + \frac{ \alpha_{1} + \alpha_{2} }{2} \right ) \cos \left ( \frac{ \omega_{1} - \omega_{2} }{2}t + \frac{ \alpha_{1} - \alpha_{2} }{2} \right )$.
$\omega_{1} = \omega_{2} + \Delta \omega, | \Delta \omega | \ll \omega_{1} = \omega$
$x(t) = 2a \cos \left ( \omega t + \frac{ \alpha_{1} + \alpha_{2} }{2} \right ) \cos \left ( \frac{ \Delta \omega t}{2} + \frac{ \alpha_{1} - \alpha_{2} }{2} \right )$
По условию $\alpha_{1} = \alpha_{2} = 0$
$x(t) = 2a \cos \omega t \cdot \cos \left ( \frac{ \Delta \omega }{2} t \right )$
$\frac{ \Delta \omega t}{2} = \frac{ \pi }{2} (2n + 1)$
$T_{б} = \frac{2 \pi }{ \Delta \omega }$
По уравнению $\omega^{ \prime} = 2 \Delta \omega$
$\omega = 50, \frac{ \Delta \omega }{2} = 2,a, \Delta \omega = 4,2$
$T_{б} = \frac{2 \pi }{4,2} = 1,49 \approx 1,5 с$
$\omega_{1} = 50 - \frac{ \Delta \omega }{2} = 50 - 2,1 = 47,9 с^{-1}$
$\omega_{2} = 50 + 2,1 = 52,1 с^{-1}$