2021-02-20
Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам $x_{1} = x \cos \omega t$ и $x_{2} = a \cos 2 \omega t$. Найти максимальную скорость точки.
Решение:
По условию задачи даны законы движения точки
$x_{1} = a \cos \omega t, x_{2} = a \cos 2 \omega t$
Тогда
$x = x_{1} + x_{2} = a ( \cos \omega t + \cos 2 \omega t)$.
Так как $\cos 2 \omega t = \cos^{2} \omega t - \sin^{2} \omega t = 2 \cos^{2} \omega t - 1$, то $x = a ( \cos \omega t + 2 \cos^{2} \omega t - 1 )$.
Продифференцировав, получим
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = a ( \omega \sin \omega t - 4 \omega \cos \omega t \cdot \sin \omega t)$. (1)
Для нахождения максимальной скорости продифференцируем еще раз (1) и приравняем полученную производную к нулю
$\frac{dv}{dt} = a \omega^{2} \cos \omega t - 4a \omega^{2} \cos^{2} \omega t + 4 a \omega^{2} \sin^{2} \omega t = 0$.
или
$8 \cos^{2} \omega t + \cos \omega t - 4 = 0$.
Получили квадратное уравнение относительно $\cos \omega t$, решая которое получим
$\cos \omega t = 0,644$, a $\sin \omega t = 0,765$.
Подставляя в уравнение (1)
$v_{max} = | v_{max} | = + a \omega (0,765 + 4 \cdot 0,765 \cdot 0,644) = 2,74 a \omega$.