2021-01-10
С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$?
Решение:
Пусть в данный момент скорость тела есть $\vec{v}$, а ускорение - $\vec{a}$ и оба эти вектора направлены вдоль ускорения $\vec{g}$ (см. рис.).
Сечение $AB$ движется вниз со скоростью $v$. Это означает, что сечения $A_{1}A$ и $B_{1}B$ движутся вверх с некой скоростью $v_{1}$. Закон сохранения массы дает уравнение:
$v_{1} \pi (R^{2} - r^{2} ) = v \pi r^{2} \Rightarrow v_{1} = \frac{vr^{2} }{R^{2} - r^{2} }$. (1)
Совершенно аналогичное рассуждение справедливо и для сечений $CD, CC_{1}, DD_{1}$ (см. рис.). Таким образом, если жидкость несжимаема, то ее часть, заключенная в столбиках $ACC_{1}A$ и $BDD_{1}B$, движется вверх со скоростью $v_{1}$ из (1), а ее кинетическая энергия:
$T_{1} = \frac{v_{1}^{2} \rho h \pi (R^{2} - r^{2} ) }{2} = \frac{ \lambda_{11}v^{2} }{2}$, (2)
где
$\lambda_{11} = \frac{ \rho_{0}h \pi r^{4} }{R^{2} - r^{2} }$.
Что касается остальной части жидкости, то ее кинетическая энергия примерно равна нулю (хотя, строго говоря, это не так). Отметим, что коэффициент $\lambda_{11}$ из (2) называется присоединенной массой в механике жидкости. Применяя теорему об изменении кинетической энергии к жидкости, получаем:
$\dot{T}_{1} = P_{дин} \cdot \pi r^{2}v - \Delta P_{ст} \cdot \pi r^{2}v$, (3)
где $P_{дин}$ - давление от оснований цилиндрического тела, $\Delta P_{ст}$ - перепад статических давлений жидкости, равный
$\Delta P_{ст} = \rho_{0}gh$.
Подставляя (2) в (3) и производя сокращения, получим:
$F_{от \: цилиндра} = P_{дин} \cdot \pi R^{2} = \pi \left ( \rho_{0}ha \frac{r^{4} }{R^{2} - r^{2} } + \rho_{0}ghr^{2} \right ), a = \dot{v}$. (4)
Точно такая же сила, но с обратным знаком, действует от жидкости на цилиндр, т. е. уравнение центра масс для цилиндра будет иметь вид:
$\rho h \pi r^{2} \cdot a = F_{тяж} - F_{от \: цилиндра}$.
Подставляя сюда $F_{тяж} = \rho h \pi r^{2}g$ и выражение (4), получим уравнение:
$\rho a = \rho g - \rho_{0}a \frac{r^{2} }{R^{2} - r^{2} } - \rho_{0}g \Rightarrow a = g \frac{( \rho - \rho_{0} )(R^{2} - r^{2} ) }{ \rho_{0}r^{2} + \rho (R^{2} - r^{2} ) }$. (5)