2021-01-10
П-образная рама (см. рис.) одним концом закреплена шарнирно. На другом конце рамы имеется каток, опирающийся на жесткую плоскость. Определить реакцию нижней опоры, считая, что сила $P$ и жесткость $EJ$ рамы таковы, что перемещения, возникающие в раме, малы по сравнению с ее начальными размерами.
Решение:
Описанная система является конструктивно (или кинематически) статически неопределимой. Попытка определить величину реакции нижней опоры, не учитывая деформации системы, приводит к абсурдному результату: $R = \pm \infty$ (для этого нужно составить уравнение моментов всех сил относительно шарнира А). Итак, следует учесть горизонтальное смещение катка В. Пусть равновесие системы наступает при угловом повороте рамы на малый угол $\phi$ (см. рис.). Разложим реакцию $R$ в точке В на две составляющие $R_{1}$
и $R_{2}$, как показано на рис. Ясно, что $R_{1} = R \cos \phi \approx R; R_{2} = R \sin \phi \approx R \phi$. Уравнение моментов относительно точки А, с точностью до малых третьего порядка по $\phi$, дает:
$P = R \phi$.
Из рис. следует, что увеличение $\Delta$ отрезка АВ в результате деформации составляет:
$\Delta = \frac{a}{ \cos \phi } - a = \frac{a(1 - \cos \phi )}{ \cos \phi } \approx \frac{a \phi^{2} }{2}$.
Теперь попробуем найти это перемещение используя теорему Кастилиано. Для схемы рис., определим перемещение $\Delta$ точки В, соответствующее силе $\vec{R}_{1}$. Имеем упругую энергию, как функцию сил $R_{1}$ и $R_{2}$:
$U(R_{1}, R_{2} ) = \frac{1}{2EJ} \int_{0}^{a} (R_{1}x)^{2}dx + \frac{1}{2EJ} \int_{0}^{a} (R_{2}y + R_{1}a )^{2}dy + \frac{1}{2EJ} \int_{0}^{a} [ - Px + R_{2}a + R_{1}(a - x) ]^{2} dx$.
Тогда, по теореме Кастилиано:
$\Delta = \frac{ \partial U}{ \partial R_{1} } = \left ( \frac{5}{3} R_{1}a^{3} + R_{2}a^{3} - P \frac{a^{3} }{6} \right ) \frac{1}{EJ}$.
Подставляя в это равенство $R_{1}, R_{2}$ и $P = R \phi$, получим, с точностью до малых третьего порядка по $\phi$, равенство:
$\Delta = \frac{Ra^{3} }{EJ} \frac{5}{3} \left ( 1 + \frac{ \phi }{2} \right ) = \frac{a \phi^{2} }{2}$.
Пренебрегая $\frac{ \phi }{2}$ по сравнению с 1, получим:
$\frac{Ra^{2} }{EJ} \frac{5}{3} = \frac{ \phi^{2} }{2}$.
Заменяя $\phi$ на $\frac{P}{R}$, получим:
$\frac{5}{3} \frac{Ra^{2} }{EJ} = \frac{1}{2} \frac{P^{2} }{R^{2} }, R^{3} = \frac{3}{10} \frac{EJP^{2} }{a^{2} }, R = \sqrt[3]{ \frac{3P^{2}EJ }{10a^{2} } }$.