2021-01-10
Горизонтальная балка длины $l$, жестко заделанная на концах, находится под действием собственного веса. Момент инерции сечения балки относительно оси изгиба равен $I_{1}$ при $0 \leq x < \frac{l}{2}$, а при $\frac{l}{2} \leq x \leq l$ он равен $I_{2}$. Определить силы реакции и реактивный момент в заделках. Считать, что вес балки равномерно распределен по всей ее длине и равен $q$ на единицу длины (см. рис.).
Решение:
Дифференциальное уравнение нейтральной оси балки имеет вид:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2} } = \frac{1}{EI(x)} M(x), 0 \leq x \leq l$, (1)
где $E$ - модуль Юнга материала балки, а $M(x)$ - изгибающий момент в сечении $x, I(x) = I_{1}$ при $0 \leq x \leq \frac{l}{2}, I(x) = I_{2}$ при $\frac{l}{2} \leq x \leq l$. Причем, если мы будем интегрировать (1) от $A$ к $B$, то
$M(x) = - \int_{0}^{x} qx dx + M_{A} + R_{A}x = - \frac{qx^{2} }{2} + M_{A} + R_{A}x$.
А если будем интегрировать (1) от $B$ к $A$, то меняя направление оси $x$ на противоположное и помещая начало отсчета в точку $B$, будем иметь:
$M(x) = - \int_{0}^{x} qxdx + M_{B} + R_{B}x = - \frac{qx^{2} }{2} + M_{B} + R_{B}x$.
Задача несимметричная, поэтому, вообще говоря, $M_{A} \neq M_{B}, R_{A} \neq R_{B}$.
Решим уравнение (1) от $A$ к $B$. Граничные условия суть следующие:
$y(0) = y(l) = 0,$ (2)
$y^{ \prime}(0) = y^{ \prime } (l) = 0$.
Смысл этих условий такой: концы балки $A$ и $B$, во-первых, не смещаются по $y$, а, во-вторых, в силу защемления, касательные к нейтральной линии в точках $A$ и $B$ имеют нулевой наклон к оси $x$.
В результате решения уравнения (1) получаются две константы интегрирования (так как это уравнение второго порядка), которые вместе с двумя неизвестными $M_{A}$ и $R_{A}$ и использовании условий (2) образуют линейную систему четырех уравнений. Решая эту систему (промежуточные выкладки опускаем), мы получим следующую систему для реакций $R_{A}$ и $M_{A}$:
$\begin{cases} \frac{1 + \mu}{12} R_{A} + \frac{1 + 3 \mu}{8l} M_{A} = ql \frac{11 + 5 \mu }{4 \cdot 96}, \\ \frac{3 + \mu}{8} R_{A} + \frac{1 + \mu}{2l} M_{A} = ql \frac{7 + \mu }{48}, \end{cases}$ (3)
где обозначено $\mu = \frac{I_{2} }{I_{1} }$.
Решения системы (3) суть следующие:
$R_{A} = \frac{ql}{4} \frac{3 + 28 \mu + \mu^{2} }{1 + 14 \mu + \mu^{2} }$, (4)
$M_{A} = - \frac{ql^{2} }{48} \frac{3 \mu^{3} + 151 \mu^{2} + 89 \mu + 13 }{(1 + 3 \mu )(1 + 14 \mu + \mu^{2} )}$.
В силу симметрии системы, для нахождения реакций $R_{B}$ и $M_{B}$ нужно в полученных выражениях заменить $\mu$ на $\frac{1}{ \mu}$.
Например,
$R_{B} = \frac{ql}{4} \frac{3 \mu^{2} + 28 \mu + 1}{1 + 14 \mu + \mu^{2} }$.
Проверка показывает, что $R_{A} + R_{B} = ql$.
Отметим также, что при $\mu = 1$ (балка с постоянным моментом инерции) получим:
$R_{A} = R_{B} = \frac{ql}{2}, M_{A} = M_{B} = - \frac{ql^{2} }{12}$.
Такие же ответы получены для аналогичной задачи (т. е. балки с постоянным моментом инерции сечения)
Отметим в заключение, что из формул (4) следуют два факта:
1. Реакции в заделах зависят лишь от отношения моментов инерции на участках $\left [ 0, \frac{l}{2} \right ]$ и $\left [ \frac{l}{2}, l \right ]$, т. е. от $\frac{I_{2} }{I_{1} }$.
2. В силу монотонности по $\mu$ выражений из (4) (это проверяется непосредственным дифференцированием), можно утверждать, что при $\mu \in [0, \infty )$ имеем:
$\frac{ql}{4} \leq R_{A} \leq \frac{3ql}{4}, - \frac{13}{48} ql^{2} \leq M_{A} \leq - \frac{1}{48} ql^{2}$,
причем граничные значения в указанных неравенствах достижимы (при соответствующих $\mu$). Аналогичные неравенства справедливы также для $R_{B}$ и $M_{B}$ (с заменой знака для $M_{B}$).