2020-10-31
Проводное кольцо пролетает между полюсами магнита, не успевая повернуться. Магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости кольца и направлению его движения. Оцените изменение скорости кольца за время его пролета через магнитное поле, если скорость кольца при влете в поле равно $v_{0} = 20 м / с$, диаметр кольца $D = 6 мм$, диаметр проволоки $d \ll D$, его удельное сопротивление $\rho_{0} = 2 \cdot 10^{-8} Ом \cdot мм$ и плотность материала $\rho_{м} = 9 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$. Зависимость величины индукции магнитного поля от координаты $x$ вдоль траектории движения кольца показано на рисунке, причем $a = 10 см, B_{0} = 1 Тл$. Считайте, что $a \gg D$ и искомое изменение скорости $\Delta v \ll v_{0}$.
Решение:
Проигнорируем индуктивность кольца, тогда в результате изменения магнитного потока, пронизывающего кольцо в нем возникнет электродвижущая сила электромагнитной индукции:
$\mathcal{E}_{i} = \frac{d \Phi}{dt} = \frac{d(BS_{D} )}{dt}$.
По условию задачи скорость кольца меняется мало ($\Delta v \ll v_{0}$). Считайте, что кольцо движется равномерно, а это значит, что индукция магнитного поля в кольце растет линейно за время $t = \frac{a}{v_{0} }$ от 0 до $B_{0}$.
$\mathcal{E}_{i} = \frac{B_{0}S_{D} }{t} = \frac{B_{0}S_{D}v }{a}$.
Отсюда следует, что сила тока в кольце:
$I = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{R} = \frac{B_{0}S_{D}v_{0} }{aR}$, (1)
площадь кольца: $S_{D} = \frac{ \pi D^{2}}{4}$, (2)
сопротивление кольца: $R = \rho_{e} \frac{l}{S_{D} }$, (3)
длина кольца: $l = \pi D$, (4)
площадь сечения проволоки кольца: $S_{D} = \frac{ \pi d^{2}}{4}$. (5)
Тепловые потери в кольце:
$Q = I^{2}R \cdot 2t = \frac{B_{0}^{2}S_{D}^{2}v_{0}^{2} }{a^{2}R^{2} } R \cdot 2 \frac{a}{v_{0} } = \frac{2B_{0}^{2}S_{D}^{2}v_{0} }{aR}$. (6)
Определим $Q$, время примем $2t$ потому, что время роста поля равно времени уменьшения и в обоих случаях скорость его изменения одинакова, а следовательно и ток одинаков.
По закону сохранения энергии:
$Q = \frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2}$, отсюда $\frac{2Q}{m} = v_{0}^{2} - v^{2}$.
При $\Delta v \ll v_{0}$: $-2v_{0} \Delta v = \frac{2Q}{m}$,
$\Delta v = \frac{-Q}{mv_{0} } = - \frac{B_{0}^{2}D^{2} }{8a \rho_{e} \rho } = -0,25 м / с$.
Учтено, что $m = \rho lS_{d} = \rho \pi D \frac{ \pi d^{2} }{4}$ - масса кольца и (1) - (6). $| \Delta v | = 0,25 м / с \ll v_{0}$, что согласуется с условием задачи.