2020-10-31
В теплоизолированном цилиндрическом сосуде легкий теплопроводящий поршень A и тяжелый теплоизолирующий поршень В образуют два объема (см. рис.). Длина каждого объема $L = 40 см$ и в каждом из них содержится 1 моль одноатомного идеального газа. Вся система находится в тепловом равновесии. Впоследствии газ медленно нагревают, передавая ему теплоту в количестве $Q = 200 Дж$. Найдите наименьшее силу трения между поршнем А и стенками сосуда, при которой поршень А еще будет неподвижным. Считайте, что поршень В движется без трения.
Решение:
Учтем:
- газ одноатомный $c_{p} = \frac{5}{2} R, c_{V} = \frac{3}{2} R$ - молярные теплоемкости газа при $P = const$ и $V = const$,
- поршень А теплопроводный - начальная и конечная температуры газов 1 и 2 - одинаковые,
- количество газа $\nu = 1 моль$.
Газ в верхней сосуде нагревается при $P = const$:
$Q_{2} = c_{p} \nu \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T$. (1)
Газ в нижней сосуде нагревается при $V = const$:
$Q_{1} = c_{V} \nu \Delta T = \frac{3}{2} R \Delta T$. (2)
То есть: $Q = Q_{1} + Q_{2} = c_{V} \Delta T + c_{p} \Delta T = 4R \Delta T$. (3)
В нижней сосуде процесс изохорный:
$\frac{P}{T} = \frac{P_{1} }{T_{1} }$, отсюда $T_{1} = T \frac{P_{1} }{P}$,
тогда: $\Delta T = T_{1} - T = T \frac{P_{1} - P }{P} = T \frac{F_{тр} }{PS} = \frac{F_{тр}PV }{PSR} = \frac{F_{тр}L }{R}$. (4)
(Учтены:
1. Условие равновесия поршня А: $PS + F_{тр} = P_{1}S $;
2. $PV = \nu RT$, отсюда $T = \frac{PV}{R} = \frac{PSL}{R}$).
Из (3) и (4) получим:
$\frac{Q}{4R} = \frac{F_{тр}L }{R}$, отсюда $F_{тр} = \frac{Q}{4L} = 125 Н$.